Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Considere o plano π : x + y + z = 1 e seja P = ( x 0 , y 0 , z 0 ) o ponto simétrico à origem O em relação ao plano π , isto é, o ponto P tal que o vetor O P → seja ortogonal a π e o ponto médio do segmento O P esteja em π . Temos que x 0 + y 0 - z 0 é igual a:

a )   2

b ) 2 3

c ) 1 3

d ) - 2

e )   3 .

Passo 1

Falaa, belezinha?? Bora lá para outro probleminha dessa prova. Agora envolvendo ponto simétrico a um plano. Essa questão nos dá a informação bem mastigada do que está acontecendo.

Temos um plano π dado por:

π :   x + y + z = 1

E um ponto P   dado por ( x 0 , y 0 , z 0 ) . O objetivo é calcular x 0 + y 0 - z 0 .

Vamos dar uma olhada especial para:

“o ponto P tal que o vetor O P → seja ortogonal a π e o ponto médio do segmento O P esteja em π

Ou seja, nossa ideia nesse problema será traduzir essa frase para o matematiques, bora lá:

Passo 2

Primeiro, ele nos diz que O P → seja ortogonal a π . Para usarmos essa informação vamos lembrar uma coisinha importante sobre o plano.

Se temos π do tipo:

π :     a x + b y + c z = d

Nesse caso temos que a , b , c ⊥ π

Ou seja, como O P → é ortogonal a π , e:

π :   x + y + z = 1

podemos dizer que no plano da questão:

  O P → = k 1,1 , 1 ,     o n d e   1,1 , 1 ⊥ π

Porém, temos que:

  O P → = ( x 0 , y 0 , z 0 )

Pela equação acima temos que O P → = k , k , k ,       k ∈ R

Passo 3

Agora vamos usar a outra informação do enunciado.

“o ponto médio do segmento O P esteja em π

Essa informação nos diz que:

M = P + O 2   ∈ π

Ou seja, M = k 2 , k 2 , k 2 ∈ π

Como esse cara tá em π , podemos colocar ele na equação do plano:

k 2 + k 2 + k 2 = 1   ∴ k = 2 3

Por isso, temos que:

P = x 0 , y 0 , z 0 = k , k , k = 2 3 , 2 3 , 2 3

E daí:

x 0 + y 0 - z 0 = 2 3

Assim finalizamos mais um probleminha, bora para o próximo?

Resposta

Letra B

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( - 4,2 , 1 ) e ( 2 ,- 4,3 ) .
Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos (1,1,0) e (0,1,1).
Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P=( 1 ,2 ,3 ) e é perpendicular ao plano x-3 y+2 z=1 .
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) d) ao plano pi : x + y - 12 = 0
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) c) ao eixo dos z