Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Dados o ponto P = ( 2,1 , 1 ) , a reta r : X = 2,1 , 1 + λ ( 1,0 , 1 ) e o plano π : X = 1 , - 2,0 + λ 0,1 , 1 + μ ( 1 , - 1,0 ) .

  1. P ∈ π ?
  2. Escreva a equação geral de π .
  3. Determine as coordenadas do ponto P ' , projeção ortogonal de P sobre π .
  4. Determine a posição relativa entre r e π .
  5. Calcule a distância de r a π .

Passo 1

  1. Para que P esteja em π , as equações tem que bater!
  2. 1 , - 2,0 + λ 0,1 , 1 + μ 1 , - 1,0 = 2,1 , 1

    1 + μ ,   - 2 + λ - μ ,   λ = 2,1 , 1

    1 + μ = 2 - 2 + λ - μ = 1 λ = 1 → μ = 1 - 2 + λ - 1 = 1 → λ = 4 λ = 1

    As duas últimas são incompatíveis no valor de λ ! Então, como as equações não bateram, P ∉ π .

    Passo 2

  3. Pra encontrar a equação geral do plano a gente faz o produto misto dos vetores diretores do plano e do vetor que liga o ponto ( 1 , - 2,0 ) a um ponto genérico ( x , y , z ) do plano ser igual a zero, pois isso quer dizer que os três são coplanares!
  4. x - 1 y + 2 z 0 1 1 1 - 1 0 = 0

    x - 1 + y + 2 - z = 0

    π :   x + y - z + 1 = 0

    Passo 3

  5. O ponto P ' é a interseção de π com a reta l , que é uma reta que passa por P e é normal ao plano, sacou? O vetor diretor dessa reta é o vetor normal ao plano π , n → = ( 1,1 , - 1 ) . Então a equação de l é:
  6. l : X = 2,1 , 1 + λ 1,1 , - 1 = ( 2 + λ , 1 + λ , 1 - λ )

    Vamos interceptar essa reta com o plano π !

    2 + λ + 1 + λ - 1 - λ = - 1

    λ = - 1

    Portanto,

    P ' = 2 - 1 ,   1 - 1 ,   1 - - 1

    P ' = ( 1 ,   0 ,   2 )

    Passo 4

  7. Vamos calcular o produto escalar do diretor de r com o vetor normal ao plano π :
  8. 1,0 , 1 ⋅ 1,1 , - 1 = 1 + 0 - 1 = 0

    Como deu zero, quer dizer que esses vetores são perpendiculares! Mas pera lá, o diretor de r é perpendicular a um vetor normal ao plano π . Isso quer dizer que o diretor de r é paralelo ao plano π ! Então é isso, r é paralela ao plano π !

    Passo 5

  9. A distancia da reta ao plano é a distância de qualquer ponto ao plano, já que são paralelos! Então vamos pegar o ponto P = ( 2,1 , 1 ) , que já conhecemos!

d P , π = 1 2 + 1 1 - 1 + 1 1 2 + 1 2 + - 1 2 = 3 3

Resposta

  1. P ∉ π
  2. π :   x + y - z + 1 = 0
  3. P ' = ( 1 ,   0 ,   2 )
  4. r é paralela ao plano π
  5. d P , π = 3 3

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