Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Seja π o plano que passa pelo ponto 1,1 , 1 e contém a reta

r : X = 0,1 , 0 + λ 1,1 , 0 ,     λ ∈ R .

Se s é a reta dada pela interseção de π com o plano y = 0 , então um vetor diretor para s é:

  1. ( 1,1 , 0 ) ;
  2. ( 0,0 , 1 ) ;
  3. ( 1,0 , 0 ) ;
  4. - 1,0 , 1 ;
  5. ( 1,0 , 1 ) .

Passo 1

E aí, meu povo? Como vocês estão? Nossa questão tá pedindo um vetor diretor para a reta s dada pela interseção do plano π com o plano y = 0 . Beleza... mas a gente não sabe quem é o tal plano π ainda né hahaha. Primeiramente, vamos relembrar qual é a equação geral de um plano:

a x - x 0 + b y - y 0 + c z - z 0 = 0

Nessa equação x 0 , y 0 , z 0 são as coordenadas de algum ponto que saibamos pertencer ao plano e a , b , c são as coordenadas de um vetor normal ao nosso plano.

Show de bola então! Porque se tivermos a equação do nosso plano π , só vamos precisar fazer y = 0 nela para encontrarmos a reta s pedida.

Beleza, mas qual vai ser a nossa estratégia para descobrir aqueles termos a , b , c então? Que bom que você perguntou! Lembra do produto vetorial? Se conhecermos dois vetores que pertençam ao plano e fizermos o produto vetorial, obtemos um novo vetor perpendicular a eles e, por consequência, normal ao plano.

Por sorte, nem vamos precisar calcular x 0 , y 0 , z 0 , já que no enunciado mesmo vem dizendo que o plano passa pelo ponto 1,1 , 1 . Só precisamos mesmo descobrir os tais termos a , b , c . Show? Vamos lá então.

Passo 2

Só pra facilitar nossa comunicação, vou estabelecer algumas nomenclaturas, tá bom? Nada demais, fica tranquilo! Haha

Vou chamar o ponto pelo qual o plano passa de Q :

Q = 1,1 , 1

Além disso, o enunciado nos dá também uma reta r que pertence ao plano π . Vou chamar o ponto pelo qual essa reta passa de P e o seu vetor diretor de v → :

r : X = 0,1 , 0 + λ 1,1 , 0 ,     λ ∈ R . = P + λ v →

Com essas nomenclaturas estabelecidas, temos a seguinte situação, ilustrada na figura abaixo:

Como a reta r já pertence ao nosso plano, isso vale também para o seu vetor diretor v → , certo? Então basta encontrarmos mais um vetor pertencente a π .

A nossa figura já nos sugere algo bem interessante: nós conhecemos o ponto P da reta r e o ponto Q . Se nós criarmos um vetor ligando esses dois pontos, resolvemos nosso problema! Isso está ilustrado com o vetor P Q → em vermelho na figura abaixo.

Temos então:

P Q → = 1,1 , 1 - 0,1 , 0 = 1,0 , 1

Show de bola! Conforme a estratégia que mencionamos lá em cima, basta a gente agora fazer o produto vetorial entre v → e P Q → :

Logo, nosso vetor normal é:

a , b , c = 1 , - 1 , - 1

Substituindo a , b , c = 1 , - 1 , - 1 e x 0 , y 0 , z 0 = 1,1 , 1 na equação do plano, temos:

1 x - 1 - 1 y - 1 - 1 z - 1 = 0

Rearranjando:

π : x - y - z + 1 = 0

Passo 3

Belezinha! Como agora já temos a equação do plano, falta nosso passo final, fazer y = 0 para encontrarmos a reta s que vem da interseção do plano π com y = 0 :

x - y - z + 1 = 0 y = 0

Temos então:

s   :   x - z + 1 = 0

Para encontrar um vetor diretor, vamos parametrizar a reta s , tomando x = t . Então, da equação de s , temos:

t - z + 1 = 0   → z = t + 1

Logo:

s : X = t , 0 , t + 1 = 0,0 , 1 + t 1,0 , 1 ,     t ∈ R .

Um vetor diretor para s é então:

w → = 1,0 , 1

Bora pra próxima questão? 😊

Resposta

(e) ( 1,0 , 1 ) .

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Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) d) ao plano pi : x + y - 12 = 0
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) c) ao eixo dos z