Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

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Enunciado

Determinar a distância da reta r : x = 3 y = 4

  1. Ao plano x O z
  2. Ao plano y O z

Passo 1

Temos duas maneiras de resolver esse exercício, vamos resolver a letra “a” da forma mais tradicional (e mais longa) e a letra ”b” de uma forma mais rápida.

Mas vamos começar pela “a”

Lembrando lá da nossa “formulosa” (essa aqui de baixo), precisamos de um ponto da reta e da equação geral do plano.

d P , π = a x 0 + b y 0 + c z 0 + d a 2 + b 2 + c 2

Um ponto da reta r pode ser P = ( 3 ,   4 ,   0 ) , mas quem é o meu plano??

Ahhh, maneiro. Mas qual é a equação dele mesmo??

Vamos descobrir, haha.

Olhando para reta do eixo x , tiramos que um vetor diretor é x → = ( 1 ,   0 ,   0 ) , fazendo o mesmo para o eixo z , temos   z → = 0 ,   0 ,   1 . Se a gente fizer   x → × z → vamos achar o vetor normal ao nosso plano x O z !

x → × z → = i → j → k → 1 0 0 0 0 1 = ( 0 ,   - 1 ,   0 )

Achamos   n → , agora vamos substituir na forma geral da equação do plano:

a x + b y + c z + d = 0

0 x + - 1 y + 0 z + d = 0

- y + d = 0

Para descobrir d , basta substituir um ponto do plano na equação acima. Um ponto de x O z é P p l a n o = ( 1 ,   0 ,   1 ) , logo

0 + d = 0 → 0

Com isso, a equação geral do plano x O z é y = 0

Passo 2

Agora que sabemos   n → = ( 0 ,   - 1 ,   0 ) , d = 0 e P = ( 3 ,   4 ,   0 ) , podemos substituir na fórmula!

d P , π = 0 × 3 + ( - 1 ) × 4 + 0 × 0 + 0 0 2 + ( - 1 ) 2 + 0 2 = 4   u . c

Passo 3

Vamos resolver a letra “b” rapidinho!

O ponto da reta r pode ser o mesmo, logo P = ( 3 ,   4 ,   0 ) .

Agora, pensa comigo. O plano y O z é o plano formado pelos eixos z e y , deixando o eixo x excluidão. Então, o plano y O z é exatamente o plano x = 0 .

Com isso,   n → = ( 1 ,   0 ,   0 ) , d = 0 .

É só colocar na fórmula e partir para o abraço!

d P , π = 1 × 3 + 0 × 4 + 0 × 0 + 0 1 2 + 0 2 + 0 2 = 3   u . c

E zefini!

Resposta

  1. 4   u . c
  2. 3   u . c

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