Exercícios Resolvidos de Distância entre Reta e Plano

Ver Teoria

Enunciado

Considere o plano π : X = - 5 ,   - 5 ,   - 5 + λ 0 ,   1 ,   2 + t ( 1 ,   - 1 ,   0 ) e o ponto P = ( 2 ,   0 ,   1 ) .

a) Escreva uma equação vetorial para a reta l que passa pelo ponto P e é perpendicular ao plano π .

b) Determine o ponto Q ∈ π que está mais próximo do ponto P .

c) Determine o ponto P ' que é simétrico de P em relação ao plano π . (Obs: Q é o ponto médio de P P ' .

Passo 1

a) Se a reta l é perpendicular ao plano, o seu vetor diretor é um vetor normal do plano π certo?

Para encontrarmos o vetor normal do plano π , vamos fazer o produto vetorial entre seus vetores diretores, já que ele será perpendicular a esses dois vetores e, consequentemente, perpendicular ao plano. Pela equação do plano, a gente sabe que os seus vetores diretores são ( 0 ,   1 ,   2 ) e ( 1 ,   - 1 ,   0 ) , então o produto vetorial n → deles vai ser

n → = i ^ j ^ k ^ 0 1 2 1 - 1 0 = 2 i ^ + 2 j ^ - k ^ = ( 2 ,   2 ,   - 1 )

Logo, o vetor ( 2 ,   2 ,   - 1 ) , que é um vetor normal do plano, será um vetor diretor da reta.

Se a reta l passa pelo ponto P = ( 2 ,   0 ,   1 ) e tem n → como vetor diretor, sua equação vetorial é

l : X = 2 ,   0 ,   1 + λ ( 2 ,   2 ,   - 1 )

Passo 2

b) Para que esse ponto Q pertencente ao plano seja o mais próximo possível do ponto P , a distância entre eles deve estar em uma reta perpendicular ao plano, pois sabemos que a menor distância entre 2 pontos é uma linha reta.

Então o ponto Q vai ser a projeção do ponto P no plano π , ou seja, a intersecção da reta l com o plano π .

Vamos primeiro encontrar a equação geral do plano π . Sabendo que ( 2 ,   2 ,   - 1 ) é um vetor normal desse plano, temos que

π : 2 x + 2 y - z + d = 0

Como o ponto ( - 5 ,   - 5 ,   - 5 ) pertence ao plano π (como vemos na sua equação vetorial), vamos substituir para encontrar d :

2 × - 5 + 2 × - 5 - - 5 + d = 0

d = 15

Logo, a equação geral do plano é

π : 2 x + 2 y - z + 15 = 0

Passo 3

Um ponto genérico de l é dado por ( 2 + 2 λ ,   0 + 2 λ ,   1 - λ ) (repare na equação encontrada no passo 1). Para encontrar a intersecção de l com π , vamos substituir esse ponto genérico de l na equação geral de π :

2 ( 2 + 2 λ ) + 2 ( 2 λ ) - ( 1 - λ ) + 15 = 0

4 + 4 λ + 4 λ - 1 + λ = - 15

9 λ = - 18

λ = - 2

Logo, o ponto de l que também passa por π é aquele em que λ = - 2 :

Q = ( 2 + 2 × ( - 2 ) ,   2 × ( - 2 ) ,   1 - ( - 2 ) )

Q = ( - 2 ,   - 4 ,   3 )

Uma figura do que fizemos até agora só pra ficar mais fácil de visualizar, sendo que o plano rosa é π e a reta preta é l :

Passo 4

c) Se Q é o ponto médio de P P ' , o ponto P ' vai ser tal que

P Q → = Q P ' →

Sabendo que Q P ' → = P ' - Q (propriedades de vetores):

P Q → = P ' - Q

Isolando P ' :

P ' = P Q → + Q

P ' = Q - P + Q

P ' = 2 Q - P

Substituindo os pontos Q e P :

P ' = 2 - 2 ,   - 4 ,   3 - ( 2 ,   0 ,   1 )

P ' = ( - 6 ,   - 8 ,   5 )

Resposta

a) l : X = 2 ,   0 ,   1 + λ ( 2 ,   2 ,   - 1 )

b) Q = ( - 2 ,   - 4 ,   3 )

c) P ' = ( - 6 ,   - 8 ,   5 )

Exercícios de Livros Relacionados

Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos ( - 4,2 , 1 ) e ( 2 ,- 4,3 ) .
Determine a equação do plano constituído de todos os pontos que são equidistantes dos pontos (1,1,0) e (0,1,1).
Escreva as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto P=( 1 ,2 ,3 ) e é perpendicular ao plano x-3 y+2 z=1 .
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) d) ao plano pi : x + y - 12 = 0
Determinar a distância da retar : {[[x = 3],[y = 4]]) c) ao eixo dos z