Exercícios Resolvidos de Distribuição Geométrica

Pedro A. Morettin e Wilton de O. Bussab, Estatística Básica, 5ª ed. São Paulo: Saraiva, 2006, 157-30

As cinco primeiras repetições de um experimento custam $10,00 cada. Todas as repetições subsequentes custam $5,00 cada. Suponha que o experimento seja repetido até que o primeiro sucesso ocorra. Se a probabilidade de sucesso de uma repetição é igual a 0,9, e se as repetições são independentes, qual é o custo esperado?

Passo 1

Vamos analisar o enunciado e ver se estamos falando de alguma distribuição? Bom o enunciado diz que temos um experimento onde temos duas fatores a serem analisados:

-X: O número de tentativas

- C: O custo dos experimentos

Sabemos que iremos realizar o experimento até que o primeiro sucesso ocorra ou seja, temos uma Distribuição Geométrica certo?

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que já sabemos qual é o modelo vamos entender o que cada coisa é... Se tentamos até conseguir o primeiro sucesso, todas as tentativas anteriores são de fracasso (não sucesso). Ou seja, se tentamos num total de X tentativas, teremos 1 sucesso e ( x - 1 ) fracassos. Considere:

- Probabilidade de Sucesso: p

- Probabilidade Não Sucesso: ( 1 - p )

Juntando tudo podemos escrever:

P X = x = p . 1 - p x - 1

Substituindo os valores do enunciado:

P X = x = 0,9 . 1 - 0,9 x - 1 = 0,9 . 0,1 x - 1

Passo 3

O enunciado pede o custo esperado, simbora calcular? O cálculo do custo é feito da seguinte forma:

- 5 primeiras tentativas : R$10,00 cada

- Outras tentativas: R$5,00 cada.

Assim podemos escrever que:

Passo 4

Agora é só substituindo e ir para as contas!

E C = 10 × ∑ K = 1 5 0,9 . 0,1 k - 1 + 5 ∑ k = 6 ∞ 0,9 . 0,1 k - 1 = 9,99

Resposta

9,99

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