Exercícios Resolvidos de Distribuição Geométrica

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Enunciado

Considere duas variáveis aleatórias X e Y , independentes, e ambas com distribuição geométrica com parâmetro p. O valor de P (X = Y ) é:

Passo 1

Fala galera. Como de costume, precisamos anotar as informações passadas nos enunciado. Então: X   ,   Y   i i d     com X   ∼ g e o p . Lembrando que existem duas formas de parametrizar a distribuição geométrica. A que estamos usando aqui pode assumir valor 0, i.e P X   =   x   =   1 - p x p

Passo 2

Para poder resolver essa questão precisaremos utilizar probabilidades condicionais. Temos que:

P X   =   Y   = ∑ y = 0 ∞   P X   =   y         Y   =   y   P Y = y (1)

Ou seja, estamos condicionando X   a um único valor de Y   e depois estamos somando em todos os possíveis valores de Y   .

Passo 3

A gora precisamos desenvolver a equação (1)

P X   =   y   Y   =   y   =   P X   =   y por independencia das variáveis X   e   Y .

P X = Y = ∑ y = 0 ∞ P X = y P Y = y   =   ∑ y = 0 ∞ 1 - p y p 1 - p y p

=   ∑ y = 0 ∞ 1 - p 2 y p 2   =   p 2   ∑ y = 0 ∞ 1 - p 2 y

Passo 4

Passo 5

Note que ∑ y = 0 ∞ 1 - p 2 y é a soma uma progressão geométrica de razão 1 - p 2 como 1 - p 2   <   1 temos:

∑ y = 0 ∞ 1 - p 2   =   1 1 - 1 - p 2

E com isso P X = Y   =     p 2 1 - 1 - p 2

Resposta

  p 2 1 - 1 - p 2

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