Exercícios Resolvidos de Distribuição Geométrica

Elaboração Própria

Considere o experimento em que uma moeda viciada é lançada sucessivas vezes, até que ocorra a primeira cara. Seja  X  a variável aleatória que conta o número de coroas obtidos no experimento (ou seja, a quantidade de lançamentos anteriores a obtenção da primeira cara). Sabendo que a probabilidade de cara é de  0,4 , qual é a probabilidade de  P ( 2 ≤ X < 4 ) .

Passo 1

Opa, temos um experimento que vai parar de ser repetido assim que acontecer o primeiro sucesso, ou seja, uma distribuição Geométrica! Nosso sucesso aqui seria o aparecimento da cara.

Mas toma muito cuidado aí para não cair na pegadinha, se liga só!

O enunciado diz para a gente que X é a variável aleatória que conta o número de coroas obtidas no experimento, antes de se obter o sucesso, que seria a cara, certo?

Imagina que você lançou a moeda 4 vezes até obter a cara, ou seja, você obteve:

{Coroa, Coroa, Coroa, Cara}

Nesse caso, nossa variável aleatória assumiria o valor X = 3 , mas o número de tentativas até se obter o sucesso seria 4, afinal foi necessário lançar a moeda quatro vezes até se obter a cara.

Vamos chamar esse número de tentativas até obter o sucesso de Y . Repara então que:

Y = X + 1

Isso é o mesmo que falar que a quantidade de vezes que se lança a moeda até obter o sucesso ( Y ) é igual a quantidade de vezes que se obteve coroa ( X ) mais uma tentativa.

E por que eu fiz tudo isso??

Por que essa variável X ,   ela parece que segue a distribuição geométrica, mas não segue não. Quem de fato segue a distribuição geométrica é a variável aleatória Y , pois é ela que contabiliza o número de tentativas até se obter o sucesso (que é obter a primeira cara).

Com isso, teremos:

Y ~ G ( 0,4 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Para calcular a probabilidade pedida temos que trocar a nossa variável aleatória:

P 2 ≤ X < 4 = P ( 3 ≤ Y < 5 )

E tem que se ligar que:

P 3 ≤ Y < 5 = P Y = 3 + P ( Y = 4 )

Já que entre maior ou igual a 3 e menor que 5, temos o 3 e o 4. Agora temos que lembrar da função da Geométrica:

P Y = k = p 1 - p k - 1

Substituindo a função para o nosso cálculo:

P 3 ≤ Y < 5 = P Y = 3 + P Y = 4 = 0,4 1 - 0,4 3 - 1 + 0,4 1 - 0,4 4 - 1

= 0 , 230

Passo 3

Resposta

0 , 230

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