Exercícios Resolvidos de Elipses

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Enunciado

Considere a curva C dada pela equação 25 x 2 = 400 - 16 y 2 .

  1. C é uma curva em posição canônica? Qual?
  2. Determine os parâmetros geométricos, a amplitude focal e a excentricidade.

Passo 1

  1. Dando uma arrumada nessa equação, a gente vai obter:
  2. 25 x 2 = 400 - 16 y 2

    25 x 2 + 16 y 2 = 400

    x 2 16 + y 2 25 = 1

    x 4 2 + y 5 2 = 1  

    Que é justamente uma elipse centrada na origem, ou seja, em posição canônica!

    Passo 2

  3. Já encontramos na equação o semi-eixo maior, a = 5 e o semi-eixo menor, b = 4 . Da relação fundamental da elipse,

a 2 = b 2 + c 2

5 2 = 4 2 + c 2

c = 3

Achamos então a distância focal, 2 c = 6 .

Agora vamos achar a amplitude focal:

2 b 2 a = 32 5

E a excentricidade:

e = c a = 3 5

Resposta

  1. Elipse em posição canônica, centrada na origem, de equação:
  2. x 4 2 + y 5 2 = 1  

  3. Parâmetros geométricos:

a = 5 b = 4 c = 3

Amplitude focal: 32 5

Excentricidade: 3 5

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