Exercícios Resolvidos de Elipses

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Enunciado

No plano R 2 determine uma equação para o conjunto dos pontos X = ( x ,   y ) cuja soma das distâncias aos pontos ( 4 ,   - 1 ) e ( 4 ,   7 ) seja 12. Esse conjunto de pontos é uma cônica, identifique-a e determine seus parâmetros geométricos.

Passo 1

Pela fórmula de distância entre pontos, aplicando a condição de que a soma da distância aos pontos dados tem que ser 12:

x - 4 2 + y + 1 2 + x - 4 2 + y - 7 2 = 12

x - 4 2 + y + 1 2 = 12 - x - 4 2 + y - 7 2

Aplicando o quadrado dos dois lados:

x - 4 2 + y + 1 2 = ( 12 - x - 4 2 + y - 7 2 ) ²

Abrindo o quadrado do lado direito por produto notável:

x - 4 2 + y + 1 2 = 144 - 2.12 . x - 4 2 + y - 7 2 + x - 4 2 + y - 7 2

Passo 2

Opa, lá na equação do passo 1 temos um ( x - 4 ) ² dos dois lados da igualdade, bora cortar :D

y + 1 2 = 144 - 24 x - 4 2 + y - 7 2 + y - 7 2

Vamos abrir esses produtos notáveis de y agora

y 2 + 2 y + 1 = 144 - 24 x - 4 2 + y - 7 2 + y 2 - 14 y + 49

24 x - 4 2 + y - 7 2 = 144 + y 2 - 14 y + 49 - y 2 - 2 y - 1

24 x - 4 2 + y - 7 2 = - 16 y + 192

Bora dividir tudo por 8?

3 x - 4 2 + y - 7 2 = - 2 y + 24

Passo 3

Ta, agora já temos uma equação bem mais simplificada. Bora jogar quadrado dos dois lados pra tirar aquela raíz

9 ( x - 4 2 + y - 7 2 ) = ( - 2 y + 24 ) ²

Abrindo de novo os produtos notáveis de y :

9 x - 4 2 + y 2 - 14 y + 49 = 4 y 2 - 96 y + 576

9 x - 4 2 + 9 y 2 - 126 y + 441 = 4 y 2 - 96 y + 576

Agrupando todos os y ' s bonitinhos:

9 x - 4 2 + 5 y 2 - 30 y - 135 = 0

Completando quadrados em y :

9 x - 4 2 + ( 5 y 2 - 30 y + 45 ) - 135 = 45

9 x - 4 2 + 5 ( y 2 - 6 y + 9 ) - 135 = 45

9 x - 4 2 + 5 ( y - 3 ) ² = 180

Passo 4

Chegamos na etapa final, ufa! Vamos dividir nossa equação por 180 pra deixar ela igual a 1:

9 x - 4 2 180 + 5 y - 3 2 180 = 180 180

Simplificando:

x - 4 2 20 + y - 3 2 36 = 1

Aeee! Agora temos finalmente a equação de uma cônica!! Isso aí é uma elipse com centro C = ( 4 ,   3 ) e seus parâmetros são

a = 36 = 6

b = 20

c 2 = a 2 - b 2 = 36 - 20 → c = 16 = 4

Resposta

Elipse com centro C = ( 4 ,   3 ) , a = 6 , b = 20 , c = 4 .

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