Exercícios Resolvidos de Elipses

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Enunciado

Determinar o centro, os vértices, os focos e a excentricidade da elipse de equação:

4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0

Passo 1

Uhuull!! Mais um problema com elipses!!! Mas, esse é um pouco diferente do que vínhamos fazendo. Precisamos colocar primeiro nossa equação na forma canônica da elipse para então retirarmos as informações que precisamos, que são: centro, vértices, focos e excentricidade.

Passo 2

Para começar, vamos completar quadrados para deixar a expressão na forma reduzida ou canônica da elipse:

4 x 2 + 9 y 2 - 8 x - 36 y + 4 = 0

4 x 2 - 2 x + 9 y 2 - 4 y + 4 = 0

4 x - 1 2 - 4 + 9 y - 2 2 - 36 + 4 = 0

4 x - 1 2 + 9 y - 2 2 = 36

Dividindo tudo por 36 :

x - 1 2 9 + y - 2 2 4 = 1       ( 1 )

Pronto!! Chegamos na forma canônica!! Mas, estamos no CASO 3, translação!!

Passo 3

Vamos seguir nossa receita de bolo!! Agora, que já temos a expressão na forma reduzida, vamos passar para o sistema x ' y ' e retirar os dados.

Para passar para o sistema x ' y ' vamos considerar:

x ' = x - 1

y ' = y - 2

Substituindo essas relações, teremos:

x ' 2 9 + y ' 2 4 = 1     ( 2 )  

Passo 4

Analisando a expressão, percebemos que o maior denominador está sobre o x ' 2 , então isso significa que nosso eixo maior está sobre o eixo x ' , assim estamos no caso 1.

Então, temos que:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 4 → b = 2

E como na elipse temos a relação   a 2 = b 2 + c 2 :

c = 5

Com esses valores conseguimos determinar o que precisamos no sistema x ' y ' . Temos que:

F 1 = - c , 0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b ,   B 2 = 0 ,   b ,   C = ( 0 ,   0 )

E que a excentricidade vale e = c a .

Substituindo os valores de a ,   b e c , temos no sistema x ' y ' :

F 1 = - 5 , 0 ,   F 2 = 5 ,   0 ,   A 1 = - 3 ,   0 ,   A 2 = 3 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 2 ,   B 2 = 0 ,   2 ,   C = ( 0 ,   0 )

e = 5 3

Passo 5

Para finalizarmos nosso exercício precisamos fazer o último passo da receita, ou seja, passar do sistema x ' y ' para x y . Para isso, vamos usar as relações:

x ' = x - 1

y ' = y - 2

Fazendo as mudanças teremos:

F 1 = - 5 , 0   e m   x ' y '

- 5 = x - 1 → x = 1 - 5

0 = y - 2 → y = 2

F 1 = 1 - 5 ,   2 e m   x y

F 2 = 5 ,   0   e m   x ' y '

5 = x - 1 → x = 1 + 5

0 = y - 2 → y = 2

F 2 = 1 + 5 ,   2 e m   x y

A 1 = - 3 ,   0   e m   x ' y '

- 3 = x - 1 → x = - 2

0 = y - 2 → y = 2

A 1 = - 2 ,   2   e m   x y

Fazendo a mesma mudança para os demais vértices, temos:

A 2 = 4 ,   2   e m   x y

B 1 = 1 ,   0   e m   x y

B 2 = 1 ,   4   e m   x y

Para C = ( 0 ,   0 ) fazemos o mesmo procedimento:

C = 0 ,   0 e m   x ' y '

0 = x - 1 → x = 1

0 = y - 2 → y = 2

C = 1 ,   2 e m   x y

A excentricidade como não depende de x ,   x ' ,   y ,   y ' então ela não muda

e = 5 3

Agora sim, terminamos!!!

Resposta

F 1 = 1 - 5 ,   2

F 2 = 5 + 1 ,   2 ,

A 1 = - 2 ,   2 ,  

A 2 = 4 ,   2 ,  

B 1 = 1 ,   0 ,  

B 2 = 1 ,   4

  C = 1 ,   2  

e = 5 3

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