Exercícios Resolvidos de Elipses

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Enunciado

Para as elipses dadas, determine os vértices, os focos, a excentricidade e = c a . Faça um esboço.

  1. 16 x 2 + 25 y 2 = 400
  2. x 2 + 9 y 2 = 9
  3. 2 x 2 + y 2 = 50
  4. 3 x 2 + 4 y 2 = 12

Passo 1

Bora começar a aquecer nossos neurônios sobre elipses!! Hehe

Temos quatro itens cada um com uma expressão de uma elipse e em cada item devemos determinar: vértices, focos, excentricidade e fazer um esboço.

Vamos comerçar!!

Passo 2

a) 16 x 2 + 25 y 2 = 400

Para começarmos esse exercício precisamos colocar a expressão na forma reduzida, ou seja, desse jeito:

x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1     o u     y 2 a 2 + x 2 b 2 = 1

Porque assim conseguiremos determinar os valores de a e b que precisamos para achar os elementos que queremos.

Então, vamos começar!!

16 x 2 + 25 y 2 = 400

Dividindo tudo por 400 , temos:

x 2 25 + y 2 16 = 1

Como a deve ser sempre maior que b , então:

a 2 = 25 → a = 5

b 2 = 16 → b = 4

Como a deve ser maior que b e a está embaixo do x 2 então significa que estamos no caso 1, e teremos uma elipse com o seguinte formato:

Pela figura, conseguimos determinar os focos e vértices

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

Temos o valor de a e b , mas para determinar os focos precisamos de c . Mas, como vamos achar c ?

Para achar c vamos usar a seguinte relação das elipses: a 2 = b 2 + c 2 . Subsituindo os valores de a = 5 e b = 4 , temos:

25 = 16 + c 2

c = 3

Repare que o resultado seria c = ± 3 , porém como a ,   b e c são distânciasnão faz sentido o valor negativo.

Agora sim, temos tudo o que precisamos é só substituir os valores e encontrar os focos, vértices e excentricidade.

F 1 = - 3 ,   0 ,   F 2 = 3 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 4   e   B 2 = 0 ,   4

e = c a → e = 3 5

E fazendo um esboço, temos:

Passo 3

b) x 2 + 9 y 2 = 9

O passo a passo é o mesmo do item anterior, começamos escrevendo na forma canônica:

x 2 9 + y 2 1 = 1

Como o maior denominador está sobre o x teremos a elipse do mesmo jeito do caso anterior, ou seja, caso 1:

Sendo o maior valor 9 , então:

a 2 = 9 → a = 3

b 2 = 1 → b = 1

Utilizando a relação a 2 = b 2 + c 2 :

c = 2 2

Substituindo esses valores a seguir:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   b

e = c a

Subsituindo, temos:

F 1 = - 2 2 ,   0 ,   F 2 = 2 2 ,   0 ,   A 1 = - 3 ,   0 ,   A 2 = 3 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 1   e   B 2 = 0 ,   1

e = 2 2 3

Esboçando:

Passo 4

c) 2 x 2 + y 2 = 50

Colocando na forma canônica:

x 2 25 + y 2 50 = 1

Agora, o maior valor do denominador está dividindo o y 2 . Isso indica que estamos no CASO 2, assim nossa elipse terá o seguinte formato:

Sabendo que nossa elipse é assim, sabemos que nossos focos e vértices, serão:

F 1 = 0 ,   - c ,   F 2 = 0 ,   c ,   A 1 = 0 ,   - a ,   A 2 = 0 ,   a ,   B 1 = - b ,   0   e   B 2 = b ,   0

Para determina-los precisamos calcular a ,   b e c .

Para encontrar esses valores continuamos a fazer o mesmo procedimento. Assim, o valor de a 2 é sempre referente ao maior denominador que é 50 , então:

a 2 = 50 → a = 50 → a = 5 2

b 2 = 25 → b = 5

Usando a relação a 2 = b 2 + c 2 que é válida para qualquer elipse, temos:

50 = 25 + c 2

c = 5

Agora, podemos achar focos, vértices e a excentricidade:

F 1 = 0 ,   - 5 ,   F 2 = 0 ,   5 ,   A 1 = 0 , - 5 2 ,   A 2 = 0 ,   5 2 ,   B 1 = - 5 ,   0   e   B 2 = 5 ,   0

e = c a → e = 5 5 2 = 2 2

Esboçando:

Passo 5

Ufa!! Só falta mais uma!! Uhuuulll

d)   3 x 2 + 4 y 2 = 12

Colocando na forma canônica:

x 2 4 + y 2 3 = 1

O maior valor do denominador está devidindo o x 2 , logo estamos no CASO 1:

Então, nossos valores de a ,   b e c são:

4 = a 2 → a = 2

3 =   b 2 → b = 3

a 2 = b 2 + c 2

4 = 3 + c 2

c = 1

Tendo os focos, vértices e excentricidade em função de a ,   b   e c , temos:

F 1 = - c ,   0 ,   F 2 = c ,   0 ,   A 1 = - a ,   0 ,   A 2 = a ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - b   e   B 2 = 0 ,   - b

e = c a

Substituindo:

F 1 = - 1 ,   0 ,   F 2 = 1 ,   0 ,   A 1 = - 2 ,   0 ,   A 2 = 2 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 3   e   B 2 = 0 ,   3

e = 1 2

Para finalizar falta esboçar!!

Terminamooossss!!!

Resposta

a) F 1 = - 3 ,   0 ,   F 2 = 3 ,   0 ,   A 1 = - 5 ,   0 ,   A 2 = 5 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 4   e   B 2 = 0 ,   4

e = c a → e = 3 5

b) F 1 = - 2 2 ,   0 ,   F 2 = 2 2 ,   0 ,   A 1 = - 3 ,   0 ,   A 2 = 3 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 1   e   B 2 = 0 ,   1

e = 2 2 3

c) F 1 = 0 ,   - 5 ,   F 2 = 0 ,   5 ,   A 1 = 0 , - 5 2 ,   A 2 = 0 ,   5 2 ,   B 1 = - 5 ,   0   e   B 2 = 5 ,   0

e = c a → e = 5 5 2 = 2 2

d) F 1 = - 1 ,   0 ,   F 2 = 1 ,   0 ,   A 1 = - 2 ,   0 ,   A 2 = 2 ,   0 ,   B 1 = 0 ,   - 3   e   B 2 = 0 ,   3

e = 1 2

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