Exercícios Resolvidos de Elipses

Ver Teoria

Enunciado

Uma elipse, cujo eixo maior é paralelo ao eixo dos y , tem centro C ( 4 ,   - 2 ) , excentricidade e = 1 2 e eixo menor de medida 6 . Qual a equação desta elipse?

Passo 1

Esse exercício é o inverso do que fizemos antes, ou seja, agora temos vários dados sobre a elipse e queremos determinar sua equação.

Dados:

  • Eixo maior é paralelo ao eixo dos y
  • Centro C ( 4 ,   - 2 )
  • Excentricidade e = 1 2
  • Eixo menor de medida 6 , ou seja, 2 b = 6 → b = 3

Passo 2

Vamos agora utilizar os dados que tiramos do problema para achar a equação da elipse. Primeiro, em qual dos 3 casos estamos?

Bem, para verificar isso vamos olhar para o centro C , nosso centro não está na origem ( 0 ,   0 ) , logo é uma elipse transladada. Estamos no caso 3. Assim, teremos uma das equações abaixo.

( x - h ) 2 a 2 + ( y - k ) 2 b 2 = 1

o u

( y - k ) 2 a 2 + ( x - h ) 2 b 2 = 1

Qual delas se encaixa no nosso problema?

Bem, como o enunciado nos diz que o eixo maior é paralelo ao eixo dos y , então a equação da nossa elipse tem o seguinte jeitão:

( y - k ) 2 a 2 + ( x - h ) 2 b 2 = 1   ( 1 )

Agora, precisamos encontrar o valor dos parâmetros a ,   b ,   h e k . O valor de b nós conseguimos saber por meio da informação de que o eixo menor mede 6 , então:

b = 3

O valor de a , achamos pela excentricidade:

e = 1 2 = c a → c = a 2

Sabendo a relação entre c e a e a relação a 2 = b 2 + c 2 , achamos a :

a 2 = 9 + a 2 2   → a = 12

Bom, a e b já achamos, mas e h e k ?

Para achar esses valoresvamos utilizar a última informação que temos que é referente ao centro da elipse estar em C ( 4 ,   - 2 ) , numa translação, o centro está em:

C = ( h ,   k )

Portanto,

h = 4

k = - 2

Passo 3

Agora sim, que temostodos os valores, basta substituirmos na expressão ( 1 ) . Sendo:

a = 12

b = 3

h = 4

k = - 2

Teremos:

( y + 2 ) 2 ( 12 ) 2 + ( x - 4 ) 2 ( 3 ) 2 = 1

Arrumando:

( y + 2 ) 2 12 + ( x - 4 ) 2 9 = 1

Resposta

( y + 2 ) 2 12 + ( x - 4 ) 2 9 = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Mostre que a equação da reta tangente à elipse x 2 a 2 + y 2 b 2 = 1 n
Nos problemas de 34 a 39, obter equações paramétricas da elipse de equ
Nos problemas de 40 a 43, obter uma equação geral da elipse dada por e
Nos problemas de 34 a 39, obter equações paramétricas da elipse de equ