Exercícios Resolvidos de Elipses

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Enunciado

Encontre a equação reduzida de um elipse que têm focos num dos eixos de coordenadas e centro na origem, sabendo que os pontos A 2,0 e B - 1,2 3 pertencem a esta elipse.

Especifique as coordenadas dos focos e calcule a excentricidade. Desenhe.

Passo 1

Para podermos identificar as coordenadas dos focos, calcular a excentricidade e desenhar a elipse, precisamos calcular a equação reduzida da nossa elipse.

Vamos lá. Sabemos que ela possui focos em algum dos eixos coordenados, ou seja, sobre o eixo x ou eixo y . Portanto, ela não está transladada. Sendo assim, a equação reduzida da elipse possui a seguinte forma:

x - x 0 2 m 2 + y - y 0 2 n 2 = 1

Só que a elipse está centrada na origem. Então, as coordenadas do seu centro x 0 , y 0 são 0,0 . Logo, a sua equação reduzida é dada por:

x 2 m 2 + y 2 n 2 = 1

Agora, nosso trabalho é identificar os valores de m e n . E a chave para isto está nos dados da questão! Ela não nos forneceu as coordenadas de dois pontos que pertencem a elipse?

Então, se estes pontos pertencem a elipse, é porque eles satisfazem a sua equação! Isto quer dizer que podemos substituir as coordenadas do ponto na equação. Começando pelo ponto A 2,0 , temos

x 2 m 2 + y 2 n 2 = 1

2 2 m 2 + 0 2 n 2 = 1

4 m 2 + 0 = 1

m 2 = 4

m = 2

Identificamos o primeiro parâmetro geométrico! Percebam que pegamos apenas o valor positivo pois todos os parâmetros geométricos são positivos por definição! Sendo assim, a nossa equação pode ser reescrita da seguinte forma:

x 2 m 2 + y 2 n 2 = 1

x 2 2 2 + y 2 n 2 = 1

x 2 4 + y 2 n 2 = 1

Continuando, para descobrir o valor de n , basta substituir as coordenadas do segundo ponto B - 1,2 3 . Portanto,

x 2 4 + y 2 n 2 = 1

- 1 2 4 + 2 3 2 n 2 = 1

1 4 + 12 n 2 = 1

12 n 2 = 3 4

12 ⋅ 4 = 3 ⋅ n 2

n 2 = 16

n = 4

Novamente, é fundamental destacar que o parâmetro geométrico n é positivo por definição!!! Finalizando uma parte da questão, temos que a equação reduzida da elipse é:

x 2 4 + y 2 n 2 = 1

x 2 4 + y 2 4 2 = 1

x 2 4 + y 2 16 = 1

Passo 2

Agora que obtivemos a equação reduzida da elipse, podemos partir para a identificação dos outros parâmetros que a questão nos pede.

Primeiro, vamos para as coordenadas do foco. A questão já nos disse que eles estão localizados em algum dos eixos coordenados. Então, ou são dados por F = ± c , 0 ou F = 0 , ± c , a depender se estão no eixo x ou y , respectivamente.

E então, como identificamos? Basta olhar o maior denominador na equação reduzida da elipse. Isto sempre será verdade para uma elipse centrada na origem e com foco em algum dos eixos. Como o maior denominador é 16, que está dividindo y , isto significa que os focos estão no eixo y !

Pronto! Quase lá. Falta encontrarmos o valor de c . Para uma elipse, ele é dado por:

c = a 2 - b 2

Lembrando que esse a e b são os parâmetros geométricos m e n que calculamos no passo anterior (não nesta ordem). O parâmetro a é o maior valor (que no caso corresponde a n = 4 ) e o parâmetro b corresponde ao menor valor (que neste caso corresponde a m = 2 ).

Continuando as contas, temos:

c = 4 2 - 2 2 = 16 - 4 = 12 = 2 3

Portanto, os focos estão localizados nos pontos F 1 = 0,2 3   e F 2 = 0 , - 2 3  

Passo 3

A excentricidade de uma elipse é obtida diretamente da divisão dos parâmetros geométricos c e a . Portanto,

e = c a = 2 3 4 = 3 2

OBS: é importante destacar que a excentricidade de uma elipse SEMPRE está na faixa 0 < e < 1 . Qualquer valor diferente deste significa que erramos nas contas!

Passo 4

Para finalizarmos a questão, vamos esboçar a elipse. Utilizando softwares para nos ajudar neste plot, temos:

Percebam que a elipse corta o eixo x nos pontos x ± 2 . E este valor é exatamente o valor de m descoberto anteriormente. Da mesma forma acontece com o eixo y . A elipse corta este eixo em y = ± n = ± 4 .

E também, como era esperado, os focos estão no eixo y (os focos estão no eixo maior da elipse, basta olhar qual a direção que ela está mais achatada).

Resposta

A equação reduzida da elipse é:

As coordenadas dos focos são F 1 = 0,2 3 e F 2 = 0 , - 2 3 . A excentricidade é e = 3 2 .

O esboço da elipse é:

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