Exercícios Resolvidos de Forças em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 54,2/110

Se M está no centro da face A B C D do sólido retangular, a )   expresse F como um vetor em termos dos vetores unitários i ,   j   e   k . b )   Determina a projeção escalar de F ao longo da linha A E . Os valores de F ,   a ,   b   e   c são conhecidos.

Passo 1

Vamos definir a direção O M → . O ponto O é o ponto inicial e origem do sistema, assim:

O = 0,0 , 0

M está no centro de uma das faces. Pela figura:

M = a 2 , b , c 2

Assim:

O M → = a 2 , b , c 2 - 0,0 , 0 = a 2 , b , c 2

E o vetor unitário nessa direção é dado por:

n → O M = 1 a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 , b , c 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Assim, a força é definida por:

F → = F . 1 a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 i ^ + b j ^ + c 2 k ^

Passo 3

Para achar a projeção da força na linha A E , vamos primeiro definir o vetor unitário que simboliza essa direção:

E = 0,0 , c

A = a , b , c

A E → = E - A = - a , - b , 0

n → E A = 1 a 2 + b 2 + 0 2 . - a i ^ - b j ^ + 0 k ^ = 1 a 2 + b 2 . - a i ^ - b j ^

Passo 4

Então, a projeção será dada pelo produto escalar abaixo:

F → E A = F → . n → E A = F a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 i ^ + b j ^ + c 2 k ^ . 1 a 2 + b 2 . - a i ^ - b j ^

Efetuando o produto termo a termo, vamos ter que:

F E A = - F a 2 + 2 b 2 a 2 + b 2 . a 2 + 4 b 2 + c 2

E qual a direção? n → E A :

F → E A = - F a 2 + 2 b 2 a 2 + b 2 . a 2 + 4 b 2 + c 2 n → E A

Resposta

a )   F → = F . 1 a 2 4 + b 2 + c 2 4 . a 2 i ^ + b j ^ + c 2 k ^

b )   F → E A = - F a 2 + 2 b 2 a 2 + b 2 . a 2 + 4 b 2 + c 2 n → E A

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