Exercícios Resolvidos de Forças em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 77,2/172

Uma força F atua ao longo da linha A B dentro da casca cilíndrica circular, como mostrado. As quantidades r ,   h ,   θ   e   F são conhecidas. Usando as coordenadas x ,   y   e   z mostradas, expresse F como um vetor.

Passo 1

Essa é mais tranquila do que parece: primeiro vamos definir o vetor da direção A B :

A B → = B - A

Depois, normalizando-o, vamos achar n → A B . Com esse vetor, vamos escrever a força como sendo:

F → = F . n → A B

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

O ponto A pode ser definido por:

A x A , y A , z A = 0 , r , 0

Dá pra ver pelo desenho?

No desenho não existe a sinalização de um ângulo e, além disso, o ponto está na face superior do cilindro. Assim, como o eixo y é o eixo vertical, dá pra gente concluir que y = r e as outras coordenadas são nulas.

E o ponto B ?

Veja só: nesse caso, o raio faz um ângulo θ com a vertical. Além disso, ele está a uma distância h da origem. Assim:

B x B , y B , z B = ( h ,   r c o s θ ,   r s e n θ )

Passo 3

Então:

A B → = B - A = h ,   r c o s θ ,   r s e n θ - 0 , r , 0 = h ,   r c o s θ - 1 , r s e n θ

Bora calcular o vetor normalizado nessa direção, então?

A B → = h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ

Assim:

n → A B = 1 h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ ( h i ^ + r cos ⁡ θ - 1 j ^ + r s e n θ k ^ )

Passo 4

E por fim:

F → = F . n → A B = F h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ ( h i ^ + r cos ⁡ θ - 1 j ^ + r s e n θ k ^ )

Resposta

F → = F h 2 + r 2 c o s θ - 1 2 + r 2 s e n 2 θ ( h i ^ + r cos ⁡ θ - 1 j ^ + r s e n θ k ^ )

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