Exercícios Resolvidos de Forças em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 55,2/116

Uma força F é aplicada à superfície eda esfera como mostrado. Os ângulos θ   e   ϕ localizam o ponto P   e   M é o ponto médio de O N . Expresse F de forma vetorial, usando as coordenadas x , y   e   z dadas.

Dica:     sec 2 ⁡ θ = 1 + t g 2 θ

Passo 1

Vamos primeiro analisar o plano O N P , que faz um ângulo ϕ com z :

Nós temos que achar quanto vale o ângulo β , pois ele é o ângulo que a linha de ação da força faz com a horizontal, conforme o desenho acima.

Beleza, mas como achar isso?

Perceba que existe um triângulo retângulo que possui um dos ângulos como sendo β . Nesse triângulo, os catetos são:

c a t e t o   a d j a c e n t e = R s e n ϕ - R 2

c a t e t o   o p o s t o = R c o s ϕ

E esse adjacente tá certo? Sim, perca que a projeção de R na horizontal é R c o s ( ϕ ) , porém a força parte do ponto M , que o ponto médio do segmento O N . Esse segmento, por sua vez, tem o comprimento do raio da esfera.

Então:

t g β = R c o s ϕ R s e n ϕ - R 2 = 2 cos ⁡ ϕ 2 s e n ϕ - 1

Agora usando:

s e c β = 1 c o s β

sec 2 β ⁡ = 1 + t g 2 β → cos 2 ⁡ β = 1 1 + t g 2 β

cos 2 ⁡ β = 1 1 + 2 cos ⁡ ϕ 2 s e n ϕ - 1 2

Arrumando isso e tirando raiz quadrada nos dois lados:

c o s β = 2 s e n ϕ - 1 2 s e n ϕ - 1 2 + 4 cos 2 ⁡ ϕ

E usando:

cos 2 ⁡ β + s e n 2 β = 1 → s e n β = 1 - cos 2 ⁡ β  

s e n β = 2 c o s ⁡ ( ϕ ) 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ

Com isso, temos o que precisamos para calcular as componentes da força.

Assim, no segmento O N , a força tem como componente horizontal:

F h = F c o s β

E vertical:

F v = F s e n ( β )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Beleza, mas essas componentes foram calculadas no segmento O N . Queremos saber as componentes nos eixos x , y   e   z .

Dá uma olhada:

Então, a componente x é dada por:

F x = F h cos ⁡ θ = F c o s β cos ⁡ θ

F y = F h s e n θ = F c o s β s e n θ

E F z continua sendo o F v :

F z = F v = F s e n β

Passo 3

Então, a força pode ser escrita como:

F → = F x i ^ + F y j ^ + F z k ^

F → = F c o s β cos ⁡ θ i ^ + F c o s β s e n θ j ^ + F s e n β k ^

2 c o s ⁡ ( ϕ ) 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ

F → = F 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ   2 s e n ϕ - 1 cos ⁡ θ i ^ + 2 s e n ϕ - 1 s e n θ j ^ + 2 cos ⁡ ϕ k ^

Resposta

F → = F 2 s e n ϕ - 1 2 + 2 cos 2 ⁡ ϕ   2 s e n ϕ - 1 cos ⁡ θ i ^ + 2 s e n ϕ - 1 s e n θ j ^ + 2 cos ⁡ ϕ k ^

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