Exercícios Resolvidos de Forças em Três Dimensões

UFPE, P1, Giovanna, questão 1

Considere o sistema ilustrado na figura a seguir e determine os itens abaixo. (Use: s e n 30 ° = 1 2 e cos ⁡ 30 ° = 4 5 ).

  1. Calcule o versor na direção A B e defina a força F em notação vetorial cartesiana em termos deste versor.
  2. Calcule a intensidade da componente de F ao longo da direção A C .

Passo 1

Vamos calcular primeiro o ângulo que a força F → faz com o plano x y :

Então:

t g θ = 11 10

Assim:

θ = a r c t g 11 10 = 18,3 °

Veja a figura de novo: se quisermos calcular a componente y da força, primeiro temos que multiplicar por c o s ⁡ ( 18,3 ° ) de modo a rebater a força para o plano x y e depois por c o s ⁡ ( 30 ° ) para que ela fique no eixo y .

Assim, a componente y do versor é:

n y = cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 °

E a componente x   devemos multiplicar no final por s e n 30 ° :

n x = cos ⁡ 18,3 ° s e n 30 °

E a componente z ? Apenas definida por:

n z = - s e n ( 18,3 ° )

E é negativa por que a força aponta para baixo!

E esse vetor já está normalizado? Sim e podemos comprovar isso calculando o seu módulo que deve dar 1 como resposta:

n = cos ⁡ 18,3 ° s e n 30 ° 2 + cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 ° 2 + - s e n 18,3 ° 2 = 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Definindo a força em termos de n → :

F → = F n → = 10 . cos ⁡ 18,3 ° . s e n 30 ° i ^ + 10 . cos ⁡ 18,3 . cos ⁡ 30 ° j ^ - 10 . s e n 18,3 ° k ^

F → = 4,74 i ^ + 8,22 j ^ - 3,14 k ^ = ( 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 )

Passo 3

Basicamente, o item está te pedindo a projeção de F → em A C .

Pra isso, você tem que definir o vetor normal daquela direção. Então vamos trabalhar em cima do triângulo abaixo:

Perceba que a distância de C até a origem é dada por:

O C = 10 s e n 30 ° = 5   m

Agora podemos calcular o ângulo que o versor faz com a horizontal:

Assim:

β = a r c t g   11 5 = 33,5 °

Então:

n → A C = cos ⁡ 33,5 ° i ^ + 0 j ^ - s e n 33,5 ° k ^ = ( 0,83 ; 0 ; - 0,553 )

Passo 4

Agora é só fazer:

F A C = F → . n → A C = 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 . 0,83 ; 0 ; - 0,553

F A C = 4,74 . 0,83 + 0 + - 3,14 . - 0,553

F A C = 5,67   k N

Resposta

a )   F → = 4,74 i ^ + 8,22 j ^ - 3,14 k ^ k N = ( 4,74 ; 8,22 ; - 3,14 ) k N

b )   5,67   k N

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