Exercícios Resolvidos de Forças em Três Dimensões

J.L. Meriam & L.G. Kraige, Mecânica para engenharia, Estática, 6° ed. RJ: LTC, 2009, 53,2/104

O tensionador é apertado até que a força trativa no cabo A B valha 2,4   k N . a )   Determine a expressão vetorial para a força trativa T , como uma força atuando no elemento A D . b )   Ache também o módulo da projeção de T ao longo da linha A C .

Passo 1

A força age no elemento A D , ou seja, no ponto A . Como a força é trativa, ela deve apontar de A para B .

Assim, o ponto A é o ponto inicial e B o final.

Podemos escrever a força trativa como:

T → = T . n → A B

Então, devemos achar esse vetor normalizado n → A B .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pela figura do enunciado, o ponto A é dado por:

A = 0 i ^ + 2 j ^ + 5 k ^ = 0,2 , 5

E B por:

B = 2 i ^ + 3 j ^ + 0 k ^ = 2,3 , 0

Assim:

A B → = B - A = 2,3 , 0 - 0,2 , 5 = ( 2,1 , - 5 )

Assim:

n → A B = A B → A B → = 1 2 2 + 1 2 + - 5 2 . 2 i ^ + 1 j ^ - 5 k ^

Assim, a força pode ser escrita assim:

T → = T . n → A B = 2,4 . 1 2 2 + 1 2 + - 5 2 . 2 i ^ + 1 j ^ - 5 k ^

T → = 0,876 i ^ + 0,438 j ^ - 2,19 k ^   k N

Passo 3

Pra gente achar a projeção da força em A C , primeiro temos que definir o vetor unitário que representa essa direção. Nós já sabemos quem é o ponto A , precisamos só definir o ponto C :

C = 2,0 , 0

Assim:

A C → = 2,0 , 0 - 0,2 , 5 = ( 2 , - 2 , - 5 )

Então:

n → A B = A C → A C → = 1 2 2 + - 2 2 + 5 2 . 2 i ^ - 2 j ^ - 5 k ^

n → A B = 0,348 i ^ - 0,348 j ^ - 0,870 k ^

Passo 4

Para achar a projeção, basta fazer o produto escalar entre a força e o vetor que define a direção A C :

T → . n → A B = 0,876 i ^ + 0,438 j ^ - 2,19 k ^ . ( 0,348 i ^ - 0,348 j ^ - 0,870 k ^ )

T → . n → A B = 2,06 k N

Veja só: Com isso, nós achamos o módulo do vetor. E qual é a direção? A direção A C → , claro. Então:

T → A C = 2,06 ( 0,348 i ^ - 0,348 j ^ - 0,870 k ^ ) k N

Resposta

a )   T → = 0,876 i ^ + 0,438 j ^ - 2,19 k ^   k N

b )   T → A C = 2,06 ( 0,348 i ^ - 0,348 j ^ - 0,870 k ^ ) k N

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