Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

Determine a deflexão em C . E I é constante.

Passo 1

E aí, pessoal!!

Essa questão já um pouquinho mais complexa porque, apesar de pedir as mesmas coisas (inclinação e deflexão) aqui não há engaste. Ou seja, quando a gente for calcular a inclinação utilizando o método da área e vamos ter algo do tipo:

θ C / A = θ C - θ A

Sendo que agora existe uma inclinação em A .

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y + B y - 75 = 0

A y + B y = 75

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

B y × 8 - 75 × 12 = 0

B y = 112,5   k N

Dessa forma:

A y + 112,5 = 75

A y = 75 - 112,5 = - 37,5   k N

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

Como só existem forças pontuais o momento fletor cresce e decresce de forma linear tendo o seu máximo no ponto máximo em B . Fazendo o corte na seção A B vamos obter:

Para achar a força cortante:

∑ F y = 0

V = - 37,5   k N

Para achar o momento fletor:

∑ M A = 0

M - V × 8 = 0

M = 8 × V = 8 × - 37,5

M = - 300   k N . m

Assim, o diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Pessoal, lembram que

θ C / A = θ A - θ C

Dessa forma a gente precisa saber qual é a inclinação de A também.

Gente, vamos resolver esse problema com ajuda na nossa amiga geometria. Que tal fazermos um esboço da linha elástica olha só!

Com isso a gente percebe, pela geometria da figura que:

t C = t C / A - Δ

E esse delta pode ser encontrado por meio de uma semelhança de triângulos (olha para os triângulos de base 8 e 12):

Δ 12 = t B / A 8  

Δ = 12 8 t B / A = 3 2 × t B / A

Assim vamos ter:

t C = t C / A - 3 2 × t B / A

Dessa forma precisamos achar:

t C / A

e

t B / A

Passo 5

Achando t C / A :

A área é igual a:

A = θ C / A = 1 2 12 - 300 E I = - 1800 E I

O centroide vai estar localizado em:

x - = ∑ A x - ∑ A

x - = 1 2 8 - 300 E I × 8 × 2 3 + 1 2 4 - 300 E I 8 + 4 × 1 3 - 1800 E I

x - = 4 × 16 3 + 2 8 + 4 3 6

x - = 64 3 + 2 28 3 6

x - = 64 3 + 56 3 6

x - = 40 6 = 6,67   m

Mas esse é o valor a partir da origem, nós queremos a partir de C , logo:

x - = 12 - 6,67 = 5,33   m

Assim vamos ter que:

t C / A = θ C / A × x -

t C / A = - 1800 E I × 5,33

t C / A = - 9594 E I

Passo 6

Agora vamos calcular t B / A :

A área é igual a:

A = θ B / A = 1 2 8 - 300 E I

θ B / A = - 1200 E I

O centroide está localizado em:

x - = 8 × 1 3 = 8 3   m

Assim, vamos ter que:

t B / A = - 1200 E I × 8 3 = - 3200 E I

Passo 7

Agora é só juntar os dois termos:

t C = t C / A - 3 2 × t B / A

t C = - 9594 E I - 3 2 × - 3200 E I

t C = - 4794 E I

Resposta

t C = - 4794 E I

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