Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

O eixo é suportado por um mancal de apoio em A , que exerce somente reações verticais sobre o eixo, e por um mancal de enconsto em B , que exerce reações horizontais, bem como reações verticais sobre o eixo. Determine a inclinação do eixo nos mancais. E I é constante

Passo 1

Fala galera! Temos um probleminha aqui bem legal né, bem prático!? Vamos entender um pouco mais sobre esse problema, temos um eixo submetido a ação de duas forças que juntas causam um momento.

E esse momento aplicado ao eixo, assim como a maioria dos carregamentos irá causar uma deformação. Logo, o estudo da linha elástica faz total sentido aqui e o problema pede o valor da inclinação que esse momento causa. Então vamos utilizar a seguinte relação:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Como podemos ver é necessário utilizar o momento fletor M então a primeira coisa que vamos fazer é montar o diagrama M / E I . Partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer então é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Fazendo o somatório das forças em x :

∑ F x = 0

- 400 + 400 + B x = 0

B x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y + B y = 0

A y = - B y

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

Meus amores aqui vai uma diquinha para vocês, como dito anteriormente a dupla de forças irá realizar um momento, na real essa dupla de forças é considerar um binário e para achar o momento desse binário é só multiplicar a força pela distância entre elas.

M b i n á r i o = 400 × 0,2 = 80   N . m

Caso você prefira fazer cada força separadamente pode fazer, ok? Esse binário não é nada demais e se não te ajudar você não precisa fazer =D

Voltando ao somatório dos momentos:

80 + B y × 0,6 = 0

B y = 133,33   N

Logo,

A y = - 133,33   N

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

E vamos obter o seguinte diagrama M / E I . (Aqui vale lembrar também que esse diagrama é idêntico ao diagrama só do momento fletor já que está dividido por uma constante).

Passo 4

Meus abiguinhos lindos, agora só falta aplicarmos a nossa equaçãozinha!!!

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Tá mas e aí quais pontos A e B eu vou escolher? Que tal pergarmos o ponto médio C e a extremidade A , assim a nossa equação vai ficar:

θ C - θ A = ∫ A C M E I   d x = Á r e a

Calculando a área entre A e C e utilizando as medidas em k N :

θ C - θ A = - 1 E I 0,300 × 0,0 40 2 = - 0,006 E I

Agora vamos fazer entre C e B e vamos obter:

θ B - θ C = 0,300 × 0,0 40 2 = 0,00 6 E I

Somando as duas equações a gente pode achar:

θ A = θ B

O que faz sentido já que é um problema simétrico, mas não nos fornece nenhum dado muito válido. Logo, vamos analisar o problema a partir das deflexões.

Passo 5

A equação da deflexão é:

y A / C = x - . θ A C

Assim vamos achar a deflexão relativa entre A e C :

y A / C = 1 3 × 0,300 . - 0,006 E I = - 0,00 06 E I

Mas essa é a deflexão relativa, a deflexão real entre eles é nula, a gente consegue ver isso com ajuda de um esboço. Aqui repara que vamos utilizar a aproximação t a n ( θ ) = θ , beleza? Podemos fazer isso porque quando falamos de linha elástica temos ângulos bem pequenininhos =D

Então a nossa equação é:

y A / C = θ A × 0,300

Dessa forma vamos ter:

θ A = - 0,00 06 0,3 . 1 E I = - 0,00 2 E I

Como ambos os ângulos são iguais então os dois valem:

θ A = θ B = - 0,002 E I

Resposta

θ A = θ B = - 0,002 E I

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