Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

Para a viga com carregamento mostrado, determinar a declividade relativa entre A e B . E I é constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Esse problema pede para calcularmos a declividade relativa entre A e B . Se estamos falando de declividade então estamos falando de ângulo e logo vamos trabalhar com as áreas do diagrama M / E I , belezinha? Lembrando que:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Aqui utilizamos A e B mas podem ser quaisquer dois pontos.

A primeira coisa que vamos fazer netão é montar o diagrama do momento fletor. Depois disso basta calcular a área (tomando alguns cuidados que vou te explicar mais pela frente) e um abraçooo.

Partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga assim como as forças concentradas de cada carregamento distribuído:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - w L + B y - w L = 0

A y + B y = 2 w L

E aplicando o somatório dos momentos fletores em A vamos ter:

∑ M A = 0

w L × L 2 - B y × L + w L × 5 L 4 = 0

B y = 7 w L 4

E consequentemente vamos ter:

A y = w L 4

Passo 3

Agora vamos ver o carregamento na viga:

O momento fletor será dado pelas seguintes equações:

  • x < L
  • M x = w L 4   .   x - w x 2 2

  • L ≤ x < 3 L 2

M x = w L 4   .   x + 7 w L 4 x - L + w L x - L 2 + 2 w x - L x - 5 L 4

Assim, o diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Pessoal, o problema pede a declividade relativa entre A e B correto? Então faz sentido fazermos:

θ B / A = θ B - θ A

Basta calcular a área do gráfico entre B e A :

Galerinhaaa, eu sei que o tamanho de L / 2 ficou menor do que L / 4 no desenho mas relavaaaa por favor kkkkk foi só um problema técnico...

θ B / A = - A 1 + A 2

Galerinha, a gente agora só precisa lembrar que para uma parábola tipo a A 1 nós vamos calcular a área conforme a base e a altura:

A = 4 3 b a s e 2 ( a l t u r a )

Logo vamos ter:

A 1 = 4 3 L 4 w L 2 14

A 1 = w L 3 42

Já para a parábola referernte à A 2 nós vamos ter que a área é dada também em função de sua base e sua altura mas da forma:

A = ( b a s e ) ( a l t u r a ) 3

A 2 = L 2 3 w L 2 4 3 = w L 3 8

Então no final vamos ter:

θ B / A = - A 1 + A 2

θ B / A = - w L 3 42 + w L 3 8

θ B / A = 17 w L 3 168

Resposta

θ B / A = 17 w L 3 168

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