Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

Uma ginasta de 60   k g está em pé no centro da trave (viga) de equilíbrio simplesmente apoiada. Se a trave for feita de madeira e tiver aseção transversal mostrada na figura, determine a deflexão máxima. Consideramos que os apoios em A e em B são rígidos. E M = 12   G P a .

Passo 1

Galerinha, esse problema é muito parecido com os anteriores e pede a deflexão máxima. A partir daí já podemos saber que essa deflexão máxima ocorre no centro da viga, pelo fato de existir apenas um carregamento central, o peso da ginasta.

Além disso é válido lembrar também que a pesar de não haver inclinação nos apoios, existirá inclinação em ambos. Isso é importante para a resolução.

Vamos começar o problema que nem sempre e fazer um esquema de forças e achar o diagrama do momento fletor.

Partiu!

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Pessoal, já coloquei direto os valores das reações porque elas tem que ser iguais. Logo se a gente tem uma carga central de 600 N então cada reação tem o valor de 300   N , ok?

Passo 3

Agora podemos fazer o diagrama de momento fletor, fazendo um corte na barra vamos obter:

Para achar a força cortante:

∑ F y = 0

V = 300   N

Para achar o momento fletor:

∑ M = 0

M - V x = 0

M = V x = 300 x

O diagrama é simétrico e possui valor máximo em x = 2,7   m , assim podemos obter:

M = 300 × 2,7 = 810   N . m

Pessoal, reparem que aqui temos o diagrama do momento fletor sobre E I , não apenas do momento fletor!

Passo 4

Agora vamos calcular a deflexão máxima, que ocorre no centro. Para isso vamos calcular a área do diagrama que fizemos de modo a achar primeiro a inclinação no ponto médio.

Gente, nessa etapa tentem sempre fazer um esboço da linha elástica, nesse caso vai ficar assim:

Olha só agora como ficou! A tangente em C que é nula neste caso, enquanto a tangente em A tem uma inclinação. Gente, isso faz sentido dadas as condições de contorno né? (Uma viga simplesmente apoiada vai ter inclinação nas pontas. Como a carga é simétrica o centro não tem inclinação).

De qualquer forma vamos poder calcular o termo da inclinação de C com relação à A :

θ C / A = á r e a   d o   g r á f i c o

Assim, vamos ter que:

θ C / A = 1 2 2,7 810 E I = 1093,5 E I

Lembrando que:

θ C / A = θ C - θ A

Como a inclinação de θ C é nula, vamos ter que:

1093,5 E I = 0 - θ A

θ A = - 1093,5 E I

Passo 5

Agora a gente vai terminar esse problema com um pouquinho de geometria, se liga:

O que queremos achar é a deflexão em C , ou seja, t C . A partir da geometria da figura a gente tem que:

Δ = t C + t C / B

Onde Δ poder ser achado por semelhança de triângulos (um com base de 2,7 e outro com base de 2,7 × 2 ):

Δ = 1 2   t A / B

Logo, podemos calcular t C como:

t C = 1 2 t A / B - t C / B

Agora só precisamos achar t A / B e t C / B . Para isso vamos voltar ao nosso diagrama. Calculando t A / B primeiro vamos ter:

t A / B = x - × θ A / B

t A / B = 2,7 × 1 2 5,4 810 E I

t A / B = 5904,9 E I

Agora vamos calcular t C / B :

t C / B = 5,4 - 2,7 2 3 × 1 2 2,7 810 E I

t C / B = 1968,3 E I

Passo 6

Agora é só juntar os termos:

t C = 1 2 t A / B - t C / B

t C / B = 1968,3 E I

t A / B = 5904,9 E I

Assim vamos ter:

t C = 1 2 5904,9 E I - 1968,3 E I

t C = 984,15 E I

Mas ainda falta substituir os termos E e I .

Passo 7

Calculando o momento de inércia:

h = 150 3 × 2 × 75 + 125 75 + 125

Essa equação aí é tabelada ta bom, pessoal?

h = 68,75   m m

Agora é só fazer o momento de inércia de cada figura com relação ao eixo que passa pelo centroide, ou seja, a altura h da base maior do trapézio. Dividindo o trapézio em 2 triangulos e 1 retângulo, o momento de inércia dos triângulos é:

I 1 = I 3 = 1 36 b h 3 + A d 2

I 1 = I 3 = 1 36 0,025 0,150 3 + 0,025 0,150 2 0,06875 - 0,150 3 2

I 1 = I 3 = 3 , 003 × 10 - 6   m 4

Agora para o retângulo:

I 2 = 1 12 b h 3 + A d 2

I 2 = 1 12 0,075 0,150 3 + 0,075 0,150 0,075 - 0,06875 2

I 2 = 2,154 × 10 - 5   m 4

O momento de inércia total vale:

I = I 1 + I 2 + I 3

I = 3,003 × 10 - 6 + 2,154 × 10 - 5 + 3,003 × 10 - 6

I = 2 , 75 × 10 - 5   m 4

Agora é só substituir:

t C = 984,15 E I

t C = 984,15 ( 12 × 10 9 ) ( 2 , 75 × 10 - 5 )

t c = 2,98   m m

Resposta

t c = 2,98   m m

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