Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

Para a viga com carregamento mostrado, determinar a declividade do ponto A . E I é constante.

Passo 1

Faaala, galerinha!! Esse problema pede para calcularmos a declividade tanto do ponto A quanto do ponto C . Se estamos falando de declividade então estamos falando de ângulo e logo vamos trabalhar com as áreas do diagrama M / E I , belezinha? Lembrando que:

θ B - θ A = ∫ A B M E I   d x = Á r e a

Aqui utilizamos A e B mas podem ser quaisquer dois pontos.

A primeira coisa que vamos fazer netão é montar o diagrama do momento fletor. Depois disso basta calcular a área (tomando alguns cuidados que vou te explicar mais pela frente) e um abraçooo.

Partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga assim como as forças concentradas de cada carregamento distribuído:

Pessoal, a gente nem precisou fazer muita conta levando em consideração que esse é um problema simétrico não é mesmo? Cada reação é igual à metade do carregamento.

Passo 3

Com o carregamento a gente pode desenhar o diagrama M / E I :

Passo 4

Pessoal, o problema pede a declividade do ponto A correto? Então faz sentido fazermos:

θ B / A = θ B - θ A

Onde B é o ponto central da barra. Mas agora vale a observação de que no ponto central a angulação é nula, logo:

θ B / A = - θ A

Basta calcular a área do gráfico entre B e A :

Galerinha, a gente agora só precisa lembrar que para uma parábola nós vamos calcular a área conforme a base e a altura:

A = 4 3 b a s e 2 ( a l t u r a )

Como queremos apenas metade da parábola vamos ter:

A = 2 3 b a s e 2 ( a l t u r a )

Logo vamos ter:

A = 2 3 L 2 w L 2 8

A = w L 3 2 4

Então no final vamos ter:

θ B / A = - w L 3 24

Incuímos o sinal negativo porque a área está abaixo do eixo x .

θ B / A = - θ A

- θ A = - w L 3 24

θ A = w L 3 24

Resposta

θ A = w L 3 24

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