Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a inclinação em A e o deslocamento em C . Considere que o apoio em A é um pino e em B , um rolete. E I é constante.

Passo 1

Vamos lá, galera, como essa viga tem um pino e um rolete como apoio, ambos vão ter um deslocamente nulo. Porém, existirá uma inclinação não nula nesses pontos.

O problema pede exatamente a inclinação em A (pino) e o deslocamento em C . Para isso vamos utilizar o nosso método das áreas.

Primeiro vamos construir o diagrama do momento fletor. Apartir desse diagrama a área será a inclinação e o momento da área o deslocamento. Então partiu?

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - 3 P + B y = 0

A y + B y = 3 P

Aqui a gente pode lembrar que se trata de um carregamento simétrico então vamos ter que A y = B y assim:

A y = B y = 1,5 P

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

Assim, o diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Pessoal, lembram que

θ C / A = θ A - θ C

Mas como estamos falando de uma viga simétrica então vamos ter que a inclinação no centro é nula.

θ C = 0

Logo,

θ C / A = θ A

Então basta calcular a área do gráfico entre C e A :

θ C / A = á r e a   d o   t r i â n g u l o + á r e a   d o   t r a p é z i o  

θ C / A = 1 2 a 1,5 P a E I + 1,5 P a E I + 2 P a E I a 2  

θ C / A = 0,75 P a 2 E I + 1,75 P a 2 E I  

θ C / A = 2,5 P a 2 E I

Passo 5

Agora, como o deslocamento em A é nulo, para achar o deslocamento em C basta fazer:

t C / A = m o m e n t o   d a   á r e a

primeiro vamos achar o centroide da figura, para isso vou dividir em um retângulo e dois triângulos:

x - = ∑ A x - ∑ A

x - = 1 2 a 1,5 P a E I × 2 a 3 + 1,5 P a E I a × a + a 2 + 1 2 0,5 P a E I a a + 2 a 3 1 2 a 1,5 P a E I + 1,5 P a E I a + 1 2 0,5 P a E I ( a )

Simplificando por P a 2 / E I :

x - = 1 2 1,5 × 2 a 3 + 1,5 × a + a 2 + 1 2 0,5 a + 2 a 3 1 2 1,5 + 1,5 + 1 2 0,5

x - = a 2 + 9 a 4 + 5 a 12 2,5

x - = 6 a 12 + 27 a 12 + 5 a 12 2,5 = 38 a 12 2,5

x - = 38 a 30 = 19 a 15

Desta forma vamos ter:

t C / A = x -   θ

t C / A = 19 a 15 × 2,5 P a 2 E I

t C / A = 19 P a 3 6 E I

Resposta

θ C / A = 2,5 P a 2 E I

t C / A = 19 P a 3 6 E I

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