Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

Determine a inclinação e a deflexão em B . E I é constante.

Passo 1

Pessoal, aqui o problema pede para calcular a inclinação que é dada por θ e a deflexão que é o termo Δ ,   t ou y , aqui vamos usar t . Existem diversas formas de fazer isso mas vamos utilizar a técnica dos momentos de área.

A gente viu dois teoremas que vão nos ajudar o primeiro é para calcular a inclinação. Para isso basta achar a área embaixo do gráfico M / E I .

Já para achar a deflexão é só pegar o termo que achamos no item acima e multiplicar pelo centroide da área.

Vamos fazer o passo a passo.

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P = 0

A y = P

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

M - P × L = 0

M = P L

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

O diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Nesse caso o valor máximo (em módulo) é em A , vale P L / E I e vai se aproximando de zero linearmente até chegar em 0 em x = L

Passo 4

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em B . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Para achar esse valor de θ B / A , que é a inclinação de B em relação à inclinação de A vamos calcular a área embaixo do gráfico entre B e A , desta forma vamos ter:

θ B / A = 1 2 L × - P L E I = - P L 2 2 E I

Como não existe inclinação em A pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

θ B / A = θ B

Assim já temos a inclinação e vale:

θ B = - P L 2 2 E I

Passo 5

Para achar a deflexão basta multiplicar o termo θ B pelo centroide de área que acabamos de utilizar.

Como o centroide de um triângulo está localizado a uma distância de 2 / 3 da extremidade, vamos ter:

x - = 2 3 × L = 2 L 3

obs: Reaparem que precisamos pegar a distância a partir do ponto B , pois estamos calculando t B / A . Se estivéssemos calculando t A / B pegaríamos a distância a partir do ponto A .

Assim a deflexão será igual a:

t B / A = θ B / A × x -

t B / A = - P L 2 2 E I × 2 L 3 = - P L 3 3 E I

Novamente pelo motivo da viga estar engastada vamos ter que a deflexão é nula em A portanto:

t B = - P L 3 3 E I

Repare que ambas respostas deram negativas, o que faz sentido já que tanto a inclinação quanto a deflexão estão abaixo da tangente de A .

Resposta

θ B = - P L 2 2 E I

t B = - P L 3 3 E I

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