Exercícios Resolvidos de Inclinação e deslocamento pelo método dos momentos de área

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Enunciado

Determine a inclinação em C e a deflexão em B . E I é constante.

Passo 1

Para achar a inclinação e a deflexão nós vamos utilizar os dois teoremas vistos, lembrando que tanto a inclinação quanto a deflexão são iguais a zero no ponto de engaste.

Antes de mais nada é muito importante que façamos o diagrama do momento fletor e depois vamos calcular a área para achar a inclinação.

Por fim vamos multiplicar a área pelo centroide da área afim de achar a deflexão!

Passo 2

A primeira coisa que temos de fazer então é construir o diagrama de momento fletor para a nossa viga. Para isso vamos desenhar as forças de apoio dessa viga:

Como só existe uma força em x então:

A x = 0

Agora fazendo o somatório das forças em y :

∑ F y = 0

A y - P = 0

A y = P

Fazendo o somatório dos momentos em relação ao ponto A e considerando o sentido anti-horário positivo:

∑ M A = 0

M - P a - P × 2 a = 0

M = 3 P a

Passo 3

Agora vamos colocar essas forças na viga:

No trecho A C nós vamos ter que a força cortante vai valer:

V = P

E o momento fletor:

M = V x - 3 P a

M = P x - 3 P a = P ( x - 3 a )

No trecho C B vamos ter que a força cortante vai valer:

V = P

E o momento fletor:

M = V x - 3 P a + P a

M = P x - 2 P a = P ( x - 2 a )

O diagrama M / E I ficará da seguinte forma:

Passo 4

Agora vamos aplicar o primeiro teorema para achar a inclinação em C . Para isso é legal construir um esboço de como a deflexão da viga vai ficar:

Dando um zoom no ponto C vamos obter o seguinte:

Onde a reta pontilhada é a tangente de A (ela tem inclinação zero porque A está engastado) e a reta contínua é a tangente de C , a gente quer o ângulo entre as duas.

Para achar esse valor de θ C / A   vamos calcular a área embaixo do gráfico entre B e A , desta forma vamos ter:

θ C / A = - 2 a P E I   a + 1 2 - a P E I ( a ) = - 5 a 2 P 2 E I

Como não existe inclinação em A pelo fato da viga estar engastada então vamos ter:

θ C / A = θ C

Assim já temos a inclinação e vale:

θ C = - 5 P a 2 2 E I

Passo 5

Agora vamos calcular a deflexão em B para isso a gente tem que achar a inclinação em B , ou seja a área do gráfico abaixo.

A área vai ser igual a:

A = - 2 a P E I   a + 1 2 - a P E I a + 1 2 - a P E I ( a )

A = - 3 a 2 P E I

Agora, para achar a deflexão precisamos também do centroide da área. Calculando esse centroide vamos ter:

x - = ∑ A x - ∑ A

Lembre-se que a posição do centroide tem o o ponto B como referência!

Para facilitar vamos encontrar a posição do centroide de cada uma das três figuras (os dois triângulos e o retângulo) em relação à origem:

p o s i ç ã o = 1 2 - a P E I a × a 3 + - 2 a P E I a × a 2 + 1 2 - a P E I a × a + a 3 1 2 - a P E I a + - 2 a P E I a + 1 2 - a P E I a

Podemos cortar um a e o termo ( - a P / E I ) :

p o s i ç ã o = 1 2 × a 3 + 2 × a 2 + 1 2 × a + a 3 1 2 + 2 + 1 2

p o s i ç ã o = a / 6 + a + 2 a / 3 3

p o s i ç ã o = a 18 + a 3 + 2 a 9

p o s i ç ã o = 11 a 18

Mas como queremos em relação à B e não em relação à origem vamos ter:

x - = 2 a - 11 a 18 = 25 a 18

E agora é só multiplicar na área

A = θ B = - 3 a 2 P E I

x - = 25 a 18

Vamos obter:

t B = θ B × x -

t B = - 3 a 2 P E I × 25 a 18

t B = - 25 P a 3 6 E I

Resposta

θ C = - 5 P a 2 2 E I

t B = - 25 P a 3 6 E I

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