Exercícios Resolvidos de Integração

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Enunciado

Se r t → = 2 cos ⁡ t i + sen ⁡ t j + 2 t k , então a integral definida:

∫ 0 π 2 r t   d t

É:

  1. 2 i - j + π 2 4 k
  2. i + j - π 2 k
  3. 2 i + k + π 2 k
  4. i - j - π 2 4 k
  5. 2 i + j + π 2 4 k

Passo 1

Quando integramos uma função vetorial podemos simplesmente integrar cada uma das componentes.

Ou seja, essa questão basicamente pede para resolvermos três integrais definidas.

r t → = 2 cos ⁡ t i + sen ⁡ t j + 2 t k

∫ 0 π 2 r t →   d t = ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ t i + ∫ 0 π 2 sen ⁡ t j + ∫ 0 π 2 2 t k

Passo 2

A integral do c o s ⁡ ( t ) é simplesmente s e n ⁡ ( t ) , então:

∫ 0 π 2 2 cos ⁡ t = 2 sen ⁡ π 2 - sen ⁡ 0 = 2 1 - 0 = 2

A integral do sen ⁡ ( t ) é - c o s ⁡ ( t ) , então:

∫ 0 π 2 sen ⁡ t = - cos ⁡ π 2 - - cos ⁡ 0 = cos ⁡ 0 + cos ⁡ π 2 = 1 + 0 = 1

E a integral de 2 t é t 2 , então:

∫ 0 π 2 2 t = π 2 2 - 0 2 = π 2 4

Passo 3

Substituindo esses resultados na nossa integral:

∫ 0 π 2 r t →   d t = ∫ 0 π 2 2 cos ⁡ t i + ∫ 0 π 2 sen ⁡ t j + ∫ 0 π 2 2 t k

∫ 0 π 2 r t →   d t = 2 i + 1 j + π 2 4 k

Resposta

Letra (e).

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