Exercícios Resolvidos de Integração

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Enunciado

Seja F um campo vetorial irrotacional de classe C 1   definido em R 2 - ( A , B ) , onde A = ( - 1,0 ) e B = ( 1,0 ) . Seja C 1 a circunferência de raio 1 centrada em A e seja C 2 a circunferência de raio 1 2 centrada em B , ambas com sentido anti-horário. Suponha que

I 1 = ∫ C 1 F ⋅ d   l → = 2                         I 2 = ∫ C 2 F ⋅ d   l → = 1        

  1. Expresse ∫ γ F ⋅ d   l → como uma combinação linear de I 1 e I 2 com coeficientes racionais, onde γ   é a curva fechada representada no desenho abaixo:
  2. Supondo que F = α G 1 + β G 2 onde

G 1 = y x + 1 2 + y 2 ,   - x + 1 x + 1 2 + y 2           e           G 2 = y x - 1 2 + y 2 ,   - x - 1 x - 1 2 + y 2

Determine os valores das constantes reais α e β .

Passo 1

Fala consagradx! O legal dessa questão é que o desenho é tosco de propósito. Na verdade, campos irrotacionais ( ∇ × F = 0   e m   V = R 2 - ( A , B ) ) são campos gradientes ( F = ∇ φ ). Daí,

∂ F 1 ∂ y = ∂ 2 φ ∂ y ∂ x     e     ∂ F 2 ∂ x = ∂ 2 φ ∂ x ∂ y ⇒ ∂ F 1 ∂ y = ∂ F 2 ∂ x

Esta última condição implica que F apresenta invariância segundo deformação de caminhos em V . Isto significa que a integral do campo na curva γ   da figura nada mais é que a combinação de deformações das integrais em C 1 e C 2 (também em V ).

Passo 2

Assim, temos que

I = ∫ γ F ⋅ d   l → = 2 I 1 + I 2 = 2 2 + 1

Pois rodeamos a curva C ! duas vezes no sentido anti-horário e a C 2 uma vez no sentido anti-horário

Resposta

∫ γ F ⋅ d   l → = 2 I 1 + I 2

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Suponha que F → t é a força resultante que atua, no instante t , sobre uma partícula de massa m que se move no espaço. Mostre que o impulso de F → no intervalo t 1 , t 2 é igual à variação da quantida
Calcule.int_(- 1)^1 [sen 3 t vec i + (1)/(1 + t^2) vec j + vec k] d t
Calcule.int_0^1 [t vec i + e^t vec j] d t
Use a Fórmula 2 para deduzir a Fórmula 7 a partir da Fórmula 8.2.5, no Volume 1, para o caso no qual a curva pode ser representada na forma y = F x ,a ≤ x ≤ b .