Exercícios Resolvidos de Integração

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Enunciado

Sejam A e B funções de classe C 2 arbitrárias, estritamente positivas, definidas em R e γ a , b ∈ R 2 sendo uma curva de classe C 1 por partes, arbitrária, simples e fechada. Considere as seguintes afirmações:

  1. ∫ γ B y A ' ( x ) A x B ( y ) d x + A x B ' ( y ) A x B ( y ) d y = 0
  2. ∫ γ B y A ' x A x B y d x + A x B ' y A x B y d y   ≠ 0
  3. ∫ γ B y A ' ( x ) A x B ( y ) d x + A x B ' ( y ) A x B ( y ) d y →     N ã o   e x i s t e

Passo 1

Olá amiguinho do Responde Aí, está tudo lá em cima?

Aqui temos uma questão que aparenta ser de cálculo 3, mas na real podemos resolvê-la utilizando argumentos de derivadas.

Basicamente, a questão dá uma condição e realiza 3 afirmações sobre as condições e perante essas condições pergunta qual é verdadeira.

Para resolver isso precisamos lembrar da regra da cadeira e da regra do produto de derivadas, você lembra?

Calma, Calma. Vamos relembrar.

Na regra do produto temos isso aqui:

d u * v = u * d v + v * d u

Mas, para que serve a regra da cadeia?

Imagina a seguinte situação:

u = f y

v = f x

Aplicando essa situação na regra do produto em conjunto com a regra da cadeia temos que:

d u * v = u * d v d x d x + v * d u d y d y

E essa formulinha que vamos utilizar para resolver a questão, vamos verificar se aquelas afirmações estão corretas? Vamos lá.

Passo 2

Olha a formulinha que acabamos de ver:

d u * v = u * d v d x d x + v * d u d y d y

Como u   e   v depende apenas de uma variável podemos deixar da seguinte forma:

d u * v = u * v ' d x + v * u ' d y

Como o integrando das três afirmações são os mesmos vamos comparar com ele:

B y A ' ( x ) A x B ( y ) d x + A x B ' ( y ) A x B ( y ) d y

Deixando mais bonitinho:

1 A x B ( y ) { B y A ' x d x + A x B ' y d y }

Olha só, que malandrinho hein?

Sendo assim, temos que:

B y A ' ( x ) A x B ( y ) d x + A x B ' ( y ) A x B ( y ) d y = d ( A x B y ) A x B y

Passo 3

Logo temos que

∫ γ B y A ' ( x ) A x B ( y ) d x + A x B ' ( y ) A x B ( y ) d y = ∫ γ d ( A x B y ) A x B y

Resolvendo essa integral temos que:

∫ γ d ( A x B y ) A x B y = l n ⁡ ( A x B ( y ) )   γ  

No enunciado afirma que as funções A , B são estritamente positivas e são definidas para todos os reais. Além disso a curva γ é uma curva fechada e bem comportada, então:

∫ γ d ( A x B y ) A x B y = l n l n   A x B y     γ   = 0

Contradizendo as demais afirmações, logo apenas a I é correta.

Resposta

Apenas a afirmativa I) é verdadeira.

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