Exercícios Resolvidos de Integração

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.136, exercício 12b.

Determine r ( t ) sabendo que

r ' t = s e n   t , c o s   2 t   , 1 t + 1 ,   t 0

r 0 = ( 1 , - 1,2 )

Passo 1

A gente já sabe que pode recuperar r ( t ) a partir de sua derivada r ' ( t ) , assim:

r t = r ' t d t = s e n   t   d t ,   c o s 2 t   d t , 1 t + 1 d t

r t = - c o s   t   , s e n 2 t 2 , l n   t + 1   + ( c 1 , c 2 , c 3 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, para descobrir essas constantes ai a gente usa o fato de que r 0 = ( 1 , - 1,2 ) :

- c o s   0   + c 1 = 1

s e n 2 ( 0 ) 2 + c 2 = - 1

l n   0 + 1   + c 3 = 2

Resolvendo cada uma dessas equações, chegamos a:

c 1 = 2

c 2 =   - 1

c 3 = 2

Passo 3

Assim,

r t = - c o s   t   , s e n 2 t 2 , l n   t + 1   + ( c 1 , c 2 , c 3 )

r t = - c o s   t   , s e n 2 t 2 , l n   t + 1   + ( 2 , - 1,2 )

r t = 2 - c o s   t   , s e n 2 t 2 - 1 , l n   t + 1 + 2  

Resposta

r t = 2 - c o s   t   , s e n 2 t 2 - 1 , l n   t + 1 + 2  

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