Exercícios Resolvidos de Integração

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 283, exercício 1.

Um rio reto tem 100 m de largura. Um barco a remo deixa a margem no instante t = 0 . A pessoa que está no barco rema a 20 m / m i n sempre na direção da margem direita. A velocidade do rio em ( x , y ) é

v = - 1 250 y - 50 2 + 10,0 ,   0 < y < 100

  1. Dado que r 0 = ( 0,100 ) , qual é a posição do barco no instante t ?
  2. A que distancia rio abaixo o barco atingirá a margem direita?

Passo 1

Vamos lá: queremos achar a posição do barco em relação a margem e o que temos são informações sobre a velocidade do barco em relação ao rio e a velocidade do rio. Temos então que achar a velocidade do barco em relação a margem para então integrá-la e achar a posição do barco em relação a margem!

A velocidade do barco em relação a margem é igual a soma da velocidade do barco em relação ao rio e da velocidade do rio. Isto é, uma pessoa que está parada na margem do rio vê o barco se movimentando com a sua velocidade em relação as aguas do rio, mas também sendo movimentado pela correnteza do rio.

Nossos dados então são:

v b , r = 0 , - 20

v r = - 1 250 y - 50 2 + 10,0

v b , m = v r + v b , r

Substituindo:

v b , m = - 1 250 y - 50 2 + 10 , - 20

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Opa, mas ai temos que a velocidade do barco em relação a margem está em função de y e sabemos que quando se trata de velocidade, o parâmetro tem que ser o tempo t .

Mas, como só tem gente esperta aqui, a gente sabe que

d y d t = - 20

Porque o barco se aproxima da margem, andando sempre na direção y , no sentindo negativo, com uma velocidade de 20 m / m i n , ou seja, a taxa de variação de da distancia y em relação ao tempo é de - 20 m / m i n .

Então

y = - 20 t + c

Passo 3

Sabemos que y 0 = 100 , ou seja, no instante t = 0 o barco está na posição da margem esquerda.

100 = - 20.0 + c

c = 100

Logo:

y = - 20 t + 100

Passo 4

Pronto, agora já podemos substituir o y na velocidade do barco em relação a margem

v b , m = - 1 250 y - 50 2 + 10 , - 20

v b , m = - 1 250 - 20 t + 50 2 + 10 , - 20

v b , m = - 8 5 t ² + 8 t , - 20

Passo 5

Agora sim podemos integrar a velocidade e recuperar a posição do barco em relação a margem

r t = v b , m d t  

r t = - 8 5 t 2 + 8 t , - 20 d t = - 8 15 t 3 + 4 t 2 + c 1 , - 20 t + c 2

Passo 6

Para descobrir ( c 1 , c 2 ) usamos o fato de que r 0 = ( 0,100 ) , assim:

- 8 15 0 3 + 4 0 2 + c 1 = 0

c 1 = 0

- 20 0 + c 2 = 100

c 2 = 100

Logo

r t = - 8 15 t 3 + 4 t 2 , - 20 t + 100

Passo 7

Agora queremos descobrir qual será o valor de x quando y = 0 . Para isso, precisamos descobrir em que valor de t o barco atinge a posição ( x , 0 ) .

Fazemos:

y = - 20 t + 100 = 0

t = 5

Passo 8

Por fim, é só substituir t = 5 no vetor posição para saber qual será o valor da coordenada x :

r t = - 8 15 t 3 + 4 t 2 , - 20 t + 100

r 5 = - 8 15 5 3 + 4 5 2 , - 20.5 + 100

r t = - 200 3 + 100,0

r t = 100 3 , 0

Resposta

a )   r t = - 8 15 t 3 + 4 t 2 , - 20 t + 100

b )   r t = 100 3 , 0

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