Exercícios Resolvidos de Integração

Hamilton Luiz Guidorizzi, Um curso de cálculo, Volume II, 5ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2001, pg.139, exercício 2, itens a,b.

Sejam

F t = t , 1 , e t

G t = ( 1,1 , 1 )

Calcule

  1. 0 1 F t × G ( t )
  2. 0 1 F t . G ( t )

Passo 1

Precisamos incialmente, calcular:

F t × G t

F t . G ( t )

Começando por F t × G t :

F t × G t = i j k t 1 e t 1 1 1 = 1 i + e t j + t k - 1 k - e t i - t j

F t × G t = 1 - e t i + e t - t j + t - 1 k

Agora F t . G ( t ) :

F t . G t = t , 1 , e t . 1,1 , 1 = t . 1 + 1.1 + e t . 1 = t + 1 + e t

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, é só calcular as integrais:

0 1 F t × G t = 0 1 1 - e t d t ,   0 1 e t - t d t ,   0 1 t - 1 d t

0 1 F t × G t = t - e t 1 0 ,   e t - t 2 2 1 0 , t 2 2 - t 1 0

0 1 F t × G t = 1 - e 1 - 0 + e 0 , e 1 - 1 1 2 - e 0 + 0 2 2 , 1 2 2 - 1 - 0 2 2 + 0

0 1 F t × G t = 2 - e 1 ,   e 1 - 3 2 ,   - 1 2

Passo 3

0 1 F t . G t = 0 1 t + 1 + e t d t = t 2 2 + t + e t 1 0 = 1 2 2 + 1 + e 1 - 0 2 2 - 0 - e 0

0 1 F t . G t = 1 2 + e

Resposta

  1. 0 1 F t × G t = 2 - e 1 ,   e 1 - 3 2 ,   - 1 2
  2. 0 1 F t . G t = 1 2 + e

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