Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Calcule a integral:

0 1 0 1 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x

Passo 1

Repare que nessa questão os limites de integração já estão posicionados na integral, é válido lembrar também que devemos resolver sempre de dentro para fora, ou seja, primeiro integraremos em z depois em y e por último em x .

Quando vamos integrar em relação a z , consideramos x e y constantes, lembra? Fica assim então, integrando em z :

0 1 0 1 0 1 x 2 + y 2 + z 2   d z d y d x = 0 1 0 1 z x 2 + z y 2 + z 3 3 z = 0 z = 1 d y d x

= 0 1 0 1 1 . x 2 + 1 . y 2 + 1 3 - 0 . x 2 + 0 . x 2 + 0 d y d x =

= 0 1 0 1 x 2 + y 2 + 1 3   d y d x

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos integrar em y agora, certo? Temos que considerar x constante então:

0 1 y x 2 + y 3 3 + y 3 y = 0 y = 1 d x

= 0 1 1 . x 2 + 1 3 + 1 3 - 0 . x 2 + 0 + 0 d x =

0 1 x 2 + 2 3   d x

Passo 3

Integrando em x temos:

x 3 3 + 2 x 3 x = 0 x = 1 =

= 1 3 + 2 3 - 0 + 0 =

= 3 3 = 1

Resposta

1

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