Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais triplas:

a)

∭ 1 x + y + z + 1 2 d x   d y   d z

Em que T é a região delimitada pelos planos coordenados e x + y + z = 2 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral tripla da região T :

∭ 1 x + y + z + 1 2 d x   d y   d z

Em que T é a região delimitada pelos planos coordenados e x + y + z = 2 .

Para resolvermos, primeiramente precisamos determinar os limites de integração para cada variável utilizando a equação do plano que foi dada.

A partir disso, reescreveremos a integral e a resolveremos!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever a equação do plano assim:

x + y + z = 2 ∴

z = 2 - x - y

Portanto, para x , os limites de integração são determinados pelos planos coordenados, que são x = 0 e x = 2 - y - z .

Para y , os limites de integração são novamente determinados pelos planos coordenados, que são y = 0 e y = 2 - x - z .

E para z , os limites de integração são determinados pelos planos coordenados, que são z = 0 e z = 2 - x - y .

Assim, podemos reescrever a integral assim:

∭ 1 x + y + z + 1 2 d x   d y   d z = ∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 1 x + y + z + 1 2 d z   d y   d x

Agora vamos lá resolver ela!!

Passo 3

Por fim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x ∫ 0 2 - x - y 1 x + y + z + 1 2 d z   d y   d x

Resolvendo a primeira integral, temos:

∫ 0 2 ∫ 0 2 - x - 1 3 + 1 x + y + 1 d y   d x

Resolvendo a segunda integral, encontramos:

∫ 0 2 ln ⁡ 3 - ln ⁡ x + 1 - 1 3 - x + 2   d x

E, por fim, resolvendo a terceira integral, temos:

= - ln ⁡ 3 + 4 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= - ln ⁡ 3 + 4 3

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