Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule o volume do sólido delimitado por x 2 + y 2 = 4 , z = 0 e 4 x + 2 y + z = 16 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume do sólido delimitado pelas seguintes equações:

x 2 + y 2 = 4

z = 0

4 x + 2 y + z = 16

Para isso, podemos utilizar o método de integração em coordenadas cartesianas.

Para isso, devemos encontrar os limites de integração para x ,   y e z :

Para x , os limites de integração são determinados pela circunferência de projeção x 2 + y 2 = 4 , que vai de - 2 a 2 .

Para y , os limites são determinados pela circunferência de projeção x 2 + y 2 = 4 , que vai de - 4 - x 2 para 4 - x 2 .

Para z , os limites de integração são determinados por z = 0 e z = 16 - 4 x - 2 y (equação dada no enunciado)

Dessa forma, a integral tripla fica:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ 0 16 - 4 x - 2 y d z   d y   d x

E aí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Assim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 ∫ 0 16 - 4 x - 2 y   d z   d y   d x

Resolvendo a integral mais interna, temos:

∫ 0 16 - 4 x - 2 y   d z = z 16 - 4 x - 2 y 0 ∴

∫ 0 16 - 4 x - 2 y   d z = 16 - 4 x - 2 y    

Assim, nossa integral fica:

∫ - 2 2 ∫ - 4 - x 2 4 - x 2 16 - 4 x - 2 y       d y   d x

Passo 3

Resolvendo novamente a integral mais interna:

∫ - 4 - x 2 4 - x 2 16 - 4 x - 2 y d y = 16 y - 4 x y - y 2 4 - x 2 - 4 - x 2 ∴

∫ - 4 - x 2 4 - x 2 16 - 4 x - 2 y d y = - 8 x - x 2 + 4 + 32 - x 2 + 4

Assim, nossa integral fica:

∫ - 2 2 - 8 x - x 2 + 4 + 32 - x 2 + 4 d y

Passo 4

Resolvendo a integral que nos restou, temos:

∫ - 2 2 - 8 x - x 2 + 4 + 32 - x 2 + 4 d y = ∫ - 2 2 - 8 x - x 2 + 4 d y + ∫ - 2 2 32 - x 2 + 4 d y ∴

∫ - 2 2 - 8 x - x 2 + 4 + 32 - x 2 + 4 d y = 0 + 64 π

∫ - 2 2 - 8 x - x 2 + 4 + 32 - x 2 + 4 d y = 64 π

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 64 π

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