Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ 1 e ∫ 1 e ∫ 1 e 1 x y z d x   d y   d z

Passo 1

Vamos começar integrando em relação a x . Nesse caso podemos pensar em y e z como constantes:

∫ 1 x y z = 1 y z ∫ 1 x   d x = 1 y z ln ⁡ x + C

Lembre disso ao longo dessa questão: a integral de 1 / x é l n ⁡ ( x ) !

Vamos substituir os limites de integração:

∫ 1 e 1 x y z d x = 1 y z ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = 1 y z 1 - 0 = 1 y z

Passo 2

Agora a nossa integral fica assim:

∫ 1 e ∫ 1 e ∫ 1 e 1 x y z d x   d y   d z = ∫ 1 e ∫ 1 e 1 y z   d y   d z

As próximas integrais vão ser exatamente iguais (também vão dar 1 ), dá uma olhada:

∫ 1 e 1 z   d z ∫ 1 e 1 y   d y = ∫ 1 e 1 z   d z ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = ∫ 1 e 1 z   d z

∫ 1 e 1 z   d z = ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = 1

Ou seja, a integral vale 1 .

Resposta

O valor da integral é 1 .

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