Exercícios Resolvidos de Plano Tangente

Origem do Exercício

Determine a equação do plano tangente à superfície:

z = f x , y = 3 x y 2 - 10 x 2

No ponto P ( 1,2 , 2 ) .

  1. z = - 8 x + 12 y - 14
  2. z = 8 x - 10 y - 30
  3. z = 8 x - 12 y + 18
  4. z = - 8 x + 10 y - 10
  5. z = - 8 x + 12 y - 18

Passo 1

Vamos lembrar da fórmula para a equação do plano tangente à uma superfície em um certo ponto.

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ( y - y 0 )

Onde x 0 ,   y 0 e z 0 são os pontos em que o nosso plano vai tangenciar a superfície. Nesse caso:

x 0 , y 0 , z 0 = ( 1,2 , 2 )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Vamos começar calculando essas derivadas parciais. Primeiro em relação a x :

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 3 x y 2 - 10 x 2

∂ f ∂ x = ∂ ∂ x 3 x y 2 - ∂ ∂ x ( 10 x 2 )

∂ f ∂ x = 3 y 2 ∂ ∂ x x - 10 ∂ ∂ x ( x 2 )

∂ f ∂ x = 3 y 2 1 - 10 2 x = - 20 x + 3 y 2

Depois, em relação a y :

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 3 x y 2 - 10 x 2

∂ f ∂ y = ∂ ∂ y 3 x y 2 - ∂ ∂ y ( 10 x 2 )

∂ f ∂ y = 3 x ∂ ∂ y y 2 - 0

∂ f ∂ y = 6 x y

Mas o que nos interessa é calcular as derivadas parciais no ponto x 0 = 1 , y 0 = 2 , ou seja:

∂ f ∂ x = 3 y 2 - 20 x         ⇒         ∂ f 1,2 ∂ x = 3 2 2 - 20 1 = - 8

∂ f ∂ y = 6 x y         ⇒         ∂ f 1,2 ∂ y = 6 1 2 = 12

Passo 3

Agora podemos substituir esses resultados na equação do plano tangente:

z - z 0 = ∂ f x 0 , y 0 ∂ x x - x 0 + ∂ f x 0 , y 0 ∂ y ( y - y 0 )

z - 2 = - 8 x - 1 + 12 ( y - 2 )

z - 2 = - 8 x + 8 + 12 y - 24

z = - 8 x + 12 y - 24 - 8 + 2

z = - 8 x + 12 y - 14

Resposta

Letra (a).

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