Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule o volume do sólido delimitado por x 2 + z 2 = 4 e y 2 + z 2 = 4 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular o volume do sólido delimitado pelas seguintes equações:

x 2 + z 2 = 4

y 2 + z 2 = 4

Essas equações representam cilindros de raio 2 ao redor dos eixos x e y , respectivamente.

A interseção desses cilindros forma um sólido limitado por um toroide.

Para isso, vamos usar coordenadas cilíndricas para realizar a integração. Em coordenadas cilíndricas, as superfícies podem ser expressas como r 2   + z 2   = 4 , onde r é o raio e θ é o ângulo.

Para calcular o volume, integramos sobre o sólido delimitado pelas superfícies.

Os limites de integração para r vão de 0 a 2 , pois o raio máximo é 2 .

Para θ , integramos de 0 a 2 π para cobrir todo o toroide.

Para z , os limites são determinados pelas equações das superfícies, que são - 4 - r 2 e 4 - r 2 .

Dessa forma, a integral tripla fica:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - 4 - r 2 4 - r 2 r   d z   d r   d θ

E aí? Bora lá resolver?

😉

Passo 2

Assim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - 4 - r 2 4 - r 2 r   d z   d r   d θ

Resolvendo a integral mais interna, temos:

∫ - 4 - r 2 4 - r 2 r   d z = r ∫ - 4 - r 2 4 - r 2 d z ∴

∫ - 4 - r 2 4 - r 2 r   d z = r z 4 - r 2 - 4 - r 2 ∴

∫ - 4 - r 2 4 - r 2 r   d z = 2 r 4 - r 2

Logo, a nossa integral que era tripla agora fica:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ - 4 - r 2 4 - r 2 r   d z   d r   d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 4 - r 2 d r   d θ

Passo 3

Resolvendo a integral mais interna agora novamente, temos:

∫ 0 2 2 r 4 - r 2 d r   = 2 ∫ 0 2 r 4 - r 2 d r ∴

Fazendo u = 4 - r 2 ∴ d u = - 2 r   d r , temos:

∫ 0 2 2 r 4 - r 2 d r   = - 2 ∫ 0 2 r u 2 r d r ∴

∫ 0 2 2 r 4 - r 2 d r   = 2 3 u 2 3 ∴

∫ 0 2 2 r 4 - r 2 d r   = 2 3 4 - r 2 2 3 2 0 ∴

∫ 0 2 2 r 4 - r 2 d r = 16 3

Assim, nossa integral fica:

∫ 0 2 π ∫ 0 2 2 r 4 - r 2 d r   d θ = ∫ 0 2 π 16 3   d θ

Passo 4

Resolvendo a última integral, temos:

∫ 0 2 π 16 3   d θ = 16 3 θ 2 π 0 ∴

∫ 0 2 π 16 3   d θ = 32 π 3

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= 32 π 3

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