Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule as seguintes integrais triplas:

b)

∭ x y sin ⁡ y z d x   d y   d z

Em que T é a região delimitada por 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ π 6 .

Passo 1

Eaee!!! Belezinha? Bom... a questão nos pede para calcular a seguinte integral tripla da região T :

∭ x y sin ⁡ y z d x   d y   d z

Em que T é a região delimitada por 0 ≤ x ≤ π , 0 ≤ y ≤ 1 e 0 ≤ z ≤ π 6 .

Assim, através dessas delimitações dadas, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 ∫ 0 π x y sin ⁡ y z d x   d y   d z

Agora já podemos resolver a integral!!

E aí? Bora lá?

😉

Passo 2

Assim, podemos resolver a integral que acabamos de encontrar:

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 ∫ 0 π x y sin ⁡ y z d x   d y   d z

Resolvendo a primeira integral, temos:

∫ 0 π x y sin ⁡ y z d x = sin ⁡ y z y ∫ 0 π x d x ∴

∫ 0 π x y sin ⁡ y z d x = sin ⁡ y z y x 2 2 π 0 ∴

∫ 0 π x y sin ⁡ y z d x = sin ⁡ y z y π 2 2

Logo, a nossa integral que era tripla agora fica:

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 sin ⁡ y z y π 2 2   d y   d z

Passo 3

Resolvendo a integral dupla que nos restou através de integração por partes, temos:

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 sin ⁡ y z y π 2 2   d y   d z = ∫ 0 π 6 π 2 2 sin ⁡ z z 2 - cos ⁡ z z d z ∴

∫ 0 π 6 ∫ 0 1 sin ⁡ y z y π 2 2   d y   d z = π 2 2 - 3 + π C i π 6 π + 1 - C i π 6

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

= π 2 2 - 3 + π C i π 6 π + 1 - C i π 6

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