Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule a integral:

∫ 0 π ∫ 0 π ∫ 0 π cos ⁡ ( u + v + w )   d u d v d w

Passo 1

Integrando de dentro para fora, fazemos primeiro a integral em u :

∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ u + v + w u = 0 u = π d v d w =

Obs: Note que quando você deriva s e n ⁡ ( u + v + w ) , pela regra da cadeia, você ficaria com:

sen ⁡ u + v + w ' = cos ⁡ u + v + w . u + v + w ' =

= cos ⁡ u + v + w . 1 + 0 + 0 = cos ⁡ ( u + v + w )

Portanto a integral de cos ⁡ ( u + v + w ) é simplesmente o seno da mesma função!

Voltando para a nossa integral:

∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ u + v + w u = 0 u = π d v d w =

= ∫ 0 π ∫ 0 π sen ⁡ ( π + v + w ) - s e n ⁡ ( v + w ) d v d w

Passo 2

Integrando em v :

∫ 0 π - cos ⁡ π + v + w + cos ⁡ v + w v = 0 v = π d w =

= ∫ 0 π - cos ⁡ 2 π + w + cos ⁡ π + w - - cos ⁡ π + w + cos ⁡ w =

= ∫ 0 π - cos ⁡ 2 π + w + 2 cos ⁡ π + w - cos ⁡ w d w

Passo 3

Finalmente, integrando em w :

- sen ⁡ 2 π + w + 2 sen ⁡ π + w - sen ⁡ w w = 0 w = π =

[ - sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0 =

Só que sabemos que sen ⁡ ( k π ) = 0 para qualquer k ∈ Z

Logo:

sen ⁡ 3 π = sen ⁡ 2 π = sen ⁡ π = sen ⁡ 0 = 0

Portanto:

[ - sen ⁡ 3 π + 2 sen ⁡ 2 π - sen ⁡ π - - sen ⁡ 2 π + 2 sen ⁡ π - sen ⁡ 0 =

= 0

Resposta

0

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