Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

George B. Thomas, Cálculo Volume II, 11ª ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009

Calcule a integral:

0 π 0 π 0 π cos ( u + v + w )   d u d v d w

Passo 1

Integrando de dentro para fora, fazemos primeiro a integral em u :

0 π 0 π sen u + v + w u = 0 u = π d v d w =

Obs: Note que quando você deriva s e n ( u + v + w ) , pela regra da cadeia, você ficaria com:

sen u + v + w ' = cos u + v + w . u + v + w ' =

= cos u + v + w . 1 + 0 + 0 = cos ( u + v + w )

Portanto a integral de cos ( u + v + w ) é simplesmente o seno da mesma função!

Voltando para a nossa integral:

0 π 0 π sen u + v + w u = 0 u = π d v d w =

= 0 π 0 π sen ( π + v + w ) - s e n ( v + w ) d v d w

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Integrando em v :

0 π - cos π + v + w + cos v + w v = 0 v = π d w =

= 0 π - cos 2 π + w + cos π + w - - cos π + w + cos w =

= 0 π - cos 2 π + w + 2 cos π + w - cos w d w

Passo 3

Finalmente, integrando em w :

- sen 2 π + w + 2 sen π + w - sen w w = 0 w = π =

[ - sen 3 π + 2 sen 2 π - sen π - - sen 2 π + 2 sen π - sen 0 =

Só que sabemos que sen ( k π ) = 0 para qualquer k Z

Logo:

sen 3 π = sen 2 π = sen π = sen 0 = 0

Portanto:

[ - sen 3 π + 2 sen 2 π - sen π - - sen 2 π + 2 sen π - sen 0 =

= 0

Resposta

0

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