Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Calcule a integral tripla:

∫ 0 1 ∫ 0 π ∫ 0 π y . sen ⁡ z   d x   d y   d z

Passo 1

Lembre-se de uma coisa muito importante: quando estamos integrando em relação a x , por exemplo, podemos pensar em y e z como constantes, e assim colocá-los “para fora” da integral!

Nesse caso, podemos reescreveer aquela integral de forma de forma que ela fica bem mais fácil:

∫ 0 1 ∫ 0 π ∫ 0 π y . sen ⁡ z   d x   d y   d z

∫ 0 1 sen ⁡ ( z ) d z ∫ 0 π y   d y ∫ 0 π d x

Agora podemos simplesmente resolver três integrais simples e depois multiplicá-las!

Passo 2

A primeira integral é:

∫ 0 1 sen ⁡ ( z )   d z = - cos ⁡ z 1 0 = - cos ⁡ 1 - cos ⁡ 0

∫ 0 1 sen ⁡ ( z )   d z = 1 - c o s ⁡ ( 1 )

A segunda é:

∫ 0 π y   d y = y 2 2 π 0 = π 2 2 - 0 2 2 = π 2 2

E a terceira é:

∫ 0 π d x = x π 0 = π

Passo 3

Agora só precisamos multiplicas esses três resultados:

∫ 0 1 sen ⁡ ( z ) d z ∫ 0 π y   d y ∫ 0 π d x = 1 - c o s ⁡ ( 1 ) π 2 2 π

E o resultado é:

π 3 2 ( 1 - cos ⁡ 1 )

Resposta

O valor da integral é π 3 2 1 - cos ⁡ 1 .

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Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
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Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Calcule a integral tripla.
Calcule a integral tripla.