Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Seja f x , y , z = x 1 2 y 3 z 2 . Calcular o valor da integral tripla da função f ( x , y , z ) em relação às variáveis x , y e z onde x varia no intervalo [ 1,3 ] , y varia no intervalo [ 2,5 ] e z varia no intervalo [ 3,4 ] .

  1. 203 24 ( 2 3 - 3 )
  2. 203 24 ( 3 3 - 2 )
  3. 203 24 ( 3 3 - 1 )
  4. 203 8 ( 3 )
  5. 203 6 ( 3 )

Passo 1

Vamos começar montando a integral que o enunciado descreveu:

I = ∫ 1 3 ∫ 2 5 ∫ 3 4 x 1 2 y 3 z 2   d z   d y   d x

Cuidado para não errar na ordem dos diferenciais!

Quando integramos em relação a x , por exemplo, podemos pensar em z e y como constantes, e tirá-las de dentro da integral:

I = ∫ 1 3 ∫ 2 5 x 1 2 y 3 d y   d x ∫ 3 4 1 z 2   d z  

Fazendo isso novamente para a integral em relação a y :

I = ∫ 1 3 x 1 / 2 d x ∫ 2 5 y 3   d y ∫ 3 4 1 z 2   d z

Agora fica tudo muito mais fácil! Podemos calcular três integrais individuais e depois multiplicar os resultados:

I = ∫ 1 3 x 1 / 2 d x ∫ 2 5 y 3   d y ∫ 3 4 1 z 2   d z

Passo 2

Vamos começar resolvendo a integral em relação a x . Sabendo que:

∫ x 1 / 2   d x = 2 3 x 3 / 2 + C

Então:

∫ 1 3 x 1 / 2 d x = 2 3 3 3 / 2 - 2 3 1 3 / 2

∫ 1 3 x 1 / 2 d x = 2 3 3 3 - 2 3 = 2 3 ( 3 3 - 1 )

Passo 3

Agora vamos ver a integral de y , lembrando que:

∫ y 3 d y = y 4 4 + C

∫ 2 5 y 3   d y = 5 4 4 - 2 4 4 = 625 4 - 16 4 = 609 4

Passo 4

E a integral de z , sabendo que:

∫ 1 z 2 d z = - 1 z + C

∫ 3 4 1 z 2   d z = - 1 4 - - 1 3 = 1 3 - 1 4 = 1 12

Agora é só multiplicar os três resultados:

I = 1 12 609 4 2 3 ( 3 3 - 1 )

Usando uma calculadora:

I = 1218 144 3 3 - 1 = 203 24 3 3 - 1  

Resposta

Letra (c).

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Calcule a integral tripla.
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