Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

Ver Teoria

Enunciado

Seja f x , y , z = ( x 2 y 1 3 ) / z . Calcular o valor da integral tripla da função f ( x , y , z ) em relação às variáveis x , y , e z onde x varia no intervalo [ 1,3 ] , y varia no intervalo [ 8,27 ] e z varia no intervalo [ 1 , e ] .

(a) 845 / 3

(b) 455 / 3

(c)   845 / 2  

(d) 455 / 4

(e) 455 / 2

Passo 1

Bom, vamos começar montando essa integral. Todos os limites de integração são números, então nem precisamos nos preocupar muito com a ordem:

∫ 1 e ∫ 8 27 ∫ 1 3 x 2 y 1 3 z   d x   d y   d z

Agora temos que resolver essa integral.

Passo 2

Quando estamos integrando o x , por exemplo, tanto o y quanto o z são considerados constantes, e assim por diante para as outras variáveis.

Isso quer dizer que se a gente for “tirando” as constantes em cada integral, vamos chegar nessa situação aqui:

∫ 1 e 1 z d z ∫ 8 27 y 1 3 d y ∫ 1 3 x 2   d x

Beleza, agora é só resolver essas integrais. Vamos deixar aqui a fórmula (indefinida) de cada uma delas:

∫ 1 z d z = ln ⁡ z + C

∫ y 1 3   d y = 3 4 y 4 3 + C

∫ x 2 d x = x 3 3 + C

Passo 3

Então tá, vamos “abrir” aquelas integrais e substituir os limites de integração:

∫ 1 e 1 z d z ∫ 8 27 y 1 3 d y ∫ 1 3 x 2   d x

Vamos escrever a forma indefinida de cada uma das integrais com os limites de integração ao lado:

ln ⁡ z e 1     .     3 4 y 4 / 3   27 8 . x 3 3 3 1

E agora é só substituir:

ln ⁡ e - ln ⁡ 1 . 3 4 27 4 3 - 3 4 8 4 3 . 3 3 3 - 1 3 3

A gente sabe que o logaritmo natural de e é simplesmente 1 e o de 1 é zero, então:

ln ⁡ e - ln ⁡ 1 = 1

O segundo fator você pode resolver com uma calculadora:

3 4 27 4 3 - 3 4 8 4 3 = 3 4 81 - 16 = 195 4

E o terceiro é bem fácil de calcular:

3 3 3 - 1 3 3 = 27 3 - 1 3 = 26 3

Agora é só multiplicar tudo isso:

1 195 4 26 3 = 5070 12 = 845 2

Pronto! Esse é o valor da integral tripla que foi pedida.

Resposta

Letra (c). 845 / 2 .

Exercícios de Livros Relacionados

Calcule a integral do Exemplo 1 , integrando primeiro em relação a y , depois z e então x .
Calcule a integral tripla. ∭ E sen ⁡ y d V Onde, E está abaixo do plano z = x e acima da região triangular com vértices 0,0 , 0 , π , 0,0 e 0 , π , 0 .
Esboce o sólido cujo volume é dado pela integral iterada. ∫ 0 1 ∫ 0 1 - x ∫ 0 2 - 2 z d y d z d x
Calcule a integral tripla.
Calcule a integral tripla.