Exercícios Resolvidos de Integrais Triplas em Regiões Cúbicas

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Enunciado

Seja f x , y , z = ( x 1 2 . y 3 ) / z 2 . Calcular o valor da integral tripla da função f ( x , y , z ) em relação às variáveis x ,   y e z onde x varia no intervalo [ 1,4 ] , y varia no intervalo [ 1,2 ] e z varia no intervalo [ 1,2 ] .

  1. 7
  2. 35 / 2
  3. 35 / 6
  4. 35 / 4
  5. 35 / 3

Passo 1

Vamos montar a integral conforma as instruções do enunciado:

∫ 1 4 ∫ 1 2 ∫ 1 2 x y 3 z 2   d z d y d x

Quando estamos integrando em relação ao z , por exemplo, podemos pensar em x e y como se fossem constantes, e assim por diante. Além disso, como todos os limites de integração são constantes, podemos reescrever a integral da seguinte forma:

∫ 1 4 x d x ∫ 1 2 y 3 d y ∫ 1 2 1 z 2 d z

Passo 2

Vamos lembrar como se calcula essas integrais:

∫ x d x = 2 3 x 3 / 2 + C

∫ y 3 = y 4 4 + C

∫ 1 z 2 = - 1 z + C

Certo? Então vamos lá resolver as integrais definidas.

Passo 3

A integral em x vai ficar assim:

∫ 1 4 x d x = 2 3 4 3 / 2 - 2 3 1 3 2 = 16 3 - 2 3 = 14 3

E em y :

∫ 1 2 y 3 = 2 4 4 - 1 4 4 = 16 4 - 1 4 = 15 4

E em z :

∫ 1 2 1 z 2 d z = - 1 2 - - 1 1 = - 1 2 + 1 = 1 2

Agora é só multiplicar esses três valores:

∫ 1 4 x d x ∫ 1 2 y 3 d y ∫ 1 2 1 z 2 d z = 14 3 15 4 1 2 = 210 24 = 35 4

Pronto!

Resposta

Letra (d).

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Calcule a integral tripla.
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