Exercícios Resolvidos de Intervalos

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Enunciado

Determine a expressão de pelo menos duas funções y = y ( x ) definidas implicitamente pela equação x y 2 + x + y = 1 . Explicite seus domínios.

Passo 1

Falaeee, beleza? Olha, em um resumão, essa questão pede para a gente representar y explicitamente em função de x por meio de duas ou mais funções.

Nesse caso, veja que a expressão se assemelha a uma função do segundo grau de y quando a gente considera x constante.

Assim, a gente pode fazer o seguinte:

x y 2 + x + y = 1

x y 2 + x + y - 1 = 0

Passo 2

Agora, vamos considerar x   constante e calcular as raízes da equação.

Então vamos encontrar o discriminante Δ :

Δ = b 2 - 4 a c = 1 2 - 4 ∙ x ∙ x - 1

Δ = 1 + 4 x - 4 x 2

Logo, temos que:

y = - 1 ± 1 + 4 x - 4 x 2 2 x

Ou seja

y 1 = - 1 + 1 + 4 x - 4 x 2 2 x

y 2 = - 1 - 1 + 4 x - 4 x 2 2 x

Já encontramos 2 expressões pra y . Agora vamos encontrar os domínios

Passo 3

No entanto, para que as funções sejam definidas em ℝ, precisamos que o denominador não seja nulo e que o interior da raiz não seja negativo. Então devemos ter o seguinte:

  • 2 x ≠ 0 ;
  • 1 + 4 x - 4 x 2 ≥ 0

Da primeira restrição, temos que:

x ≠ 0

E da segunda:

1 - 2 2 < x < 1 + 2 2

Dessa forma, a gente fazendo a interseção das condições acima nos dá o seguinte domínio:

1 - 2 2   ,   0 ∪ 1 + 2 2   ,   0

Entendeu direitinho? Responde aee ;)

Resposta

1 - 2 2   ,   0 ∪ 1 + 2 2   ,   0

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