Exercícios Resolvidos de Intervalos

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Enunciado

5] Seja r > 0 , mostre que a bola aberta B 0 , r é um conjunto aberto.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está difícil, né? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nesse problema, temos que provar que uma bola aberta B 0 , r com r > 0 é um conjunto aberto.

E aí, como fazemos isso? 😐

Uma bola é uma circunferência em R 2 ou uma esfera em R 3 por exemplo.

Uma bola é aberta quando estamos interessados nos pontos fora da bola, ou seja

x 2 + y 2 > r 2

Mas como podemos provar que uma bola aberta é um conjunto aberto? 🤔

Passo 2

Se temos uma bola B 0 , r com r > 0 podemos mostrar que existe x de B 0 , r tal que tenhamos

B 0 , s ,     s > 0

Contida em B 0 , r .

Dessa forma, se x ∈ B 0 , r , temos que d x , 0 < r onde d é a diferença de r para s . Ou seja

d x , 0 = r - s

Agora fazendo a mesma análise para y ∈ B 0 , s , temos que

d y , 0 ≤ d y , x + d x , 0 < s + d x , 0 < r

Portanto y ∈ B 0 , r também e com isso concluímos que x é ponto interior de B 0 , r e, como x é qualquer valor, temos que B 0 , r é um conjunto aberto.

Podemos obter essas condições a partir do Teorema da Curva de Jordan.

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

B 0 , r é um conjunto aberto.

Exercícios de Livros Relacionados

Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R | x1
Determine r0 de modo que 4 - r , 4 + r ⊂ 2,5 .(Lembre-se: A ⊂ B ↔ A é subconjunto de B .)
Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R | 3 x + 1x 3
Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R | 2 x - 3 ≤ 1
Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R |4 x - 36 x + 2