Exercícios Resolvidos de Intervalos

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Enunciado

Representar os conjuntos abaixo, dados graficamente pela parte pintada em vermelho, usando a notação de intervalo e a notação de desigualdades.

( a )

( b )

( c )

( d )

Passo 1

Antes de começar a resolver, vamos entender as notações e o que a figura quer dizer!

Repara na linha que temos umas bolinhas vazias e umas todas preenchidas da cor vermelho. Elas vão ser chamadas de bolas abertas e fechadas, respectivamente.

E o que cada uma representa?

  • Bola aberta intervalo aberto, ou seja, aquele número não pertence ao intervalo. A gente representa com um parênteses ou com um colchete virado para fora. Você pode escolher parênteses ou colchetes, ok?
  • Bola fechada intervalo fechado, ou seja, aquele número pertence ao intervalo. A gente representa com um colchete virado para dentro.

Passo 2

Bora fazer essas coisas do começo:

( a )

Então as extremidades do intervalo são 2 e 6 , com as bolinhas abertas neles. Então temos:

2,6   o u   ] 2,6 [

Essa foi a notação de intervalo, vamos fazer a de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) está entre 2 e 6 , então:

{ x ∈ I R   |   2 < x < 6 }

Foi um bom começo né? Vamos continuar arrasando.

Passo 3

( b )

Aqui temos a união de intervalos, percebe?

Vamos escrever em intervalo o primeiro tracinho vermelho, que tem uma bola aberta em 0 :

- ∞ , 0

A gente a setinha ta indo em direção a um número negativo muito grande, a gente usa essa representação com - ∞ , ok?!

No segundo tracinho vermelho temos um intervalo aberto tanto em 1 quanto em 2 :

1,2   o u   ] 1,2 [

O terceiro tracinho vermelho tem uma bolinha aberta em 3 e segue para o infinito:

3 , ∞

Então o intervalo é a união dos três que encontramos agora:

- ∞ , 0 ∪ 1,2 ∪ 3 , ∞

Vamos escrever agora em notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) menor que 0 OU ele está entre 1   e   2 OU ele é maior que 3 :

x ∈ I R x < 0   o u   1 < x < 2   o u   x > 3 }

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Passo 4

( c )

Agora temos um π aí só pra te colocar medo! Hahahaha mas relaxa, o processo é o mesmo!

Temos ali uma bolinha fechada em 3 e ponto, não tem tracinho nenhum. O que isso quer dizer? Quer dizer apenas que x assume o valor 3 , bem simples e objetivo.

Já o outro tracinho, nos mostra um intervalo que de vai de π a 4 , ambos com bolinha aberta. Vamos escrever o intervalo:

{ 3 } ∪ ( π , 4 )

Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)

Maneiro né? Bora escrever na notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) é igual a 3 OU ele está entre π   e   4 :

x ∈ I R   x = 3   o u   π < x < 4 }

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Passo 5

( d )

NOSSSSAAAAAA AGORA EU ENTREGO PRA DEUS!

Não faça isso, você verá que é a mesma coisa!!! Agora temos a união de quatro intervalinhos.

Olhando pro primeiro:

- ∞ , 1

Agora olhando pro segundo:

( 2 , 2 ]

Perceba que agora temos uma bolinha fechada em 2 , então o intervalo foi fechadinho nele.

Olhando por terceiro:

5

Pois é, esse é somente um número porque temos só uma bolinha e pronto. Agora olhando pro quarto tracinho:

[ 3 , ∞ )

Show, bora unir essa galera:

- ∞ , 1 ∪ ( 2 , 2 ] ∪ { 5 } ∪ [ 3 , ∞ )

Lembrando que por mais que tenhamos apenas um número, só podemos unir CONJUNTOS, então escrevemos o número como um conjunto unitário (colocamos chaves nele)

Agora passando isso para notação de desigualdades. Perceba que estamos falando da reta real e temos que x (um número real qualquer) é menor que - 1 OU ele está entre 2   e   2 OU ele é igual a 5 OU ele é maior que 3 :

x ∈ I R   x < 1   o u   2 < x ≤ 2     o u     x = 5     o u     3 ≤ x }

Cada símbolo de união corresponde à palavra OU na notação de desigualdades.

Resposta

a   { x ∈ I R     |   2 < x < 6 } = ( 2,6 )

b   x ∈ I R     x < 0     o u   1 < x < 2   o u     3 < x } = - ∞ , 0 ∪ 1,2 ∪ 3 , ∞

c   x ∈ I R   x = 3     o u     π < x < 4 } =   { 3 } ∪ ( π , 4 )

d   x ∈ I R     x < 1     o u   2 < x ≤ 2   o   u     x = 5     o u   3 ≤ x } = - ∞ , 1 ∪ ( 2 , 2 ] ∪ { 5 } ∪ [ 3 , ∞ )

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Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R | x1
Determine r0 de modo que 4 - r , 4 + r ⊂ 2,5 .(Lembre-se: A ⊂ B ↔ A é subconjunto de B .)
Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R | 3 x + 1x 3
Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R | 2 x - 3 ≤ 1
Expresse cada um dos conjuntos abaixo em notação de intervalo. x ∈ R |4 x - 36 x + 2