Exercícios Resolvidos de Leis de Kepler

USP-P3-2015-3

Considere um planeta movendo-se numa órbita somente sob ação do campo gravitacional do Sol. Tomando o centro de massa do Sol como referência, assinale a afirmativa incorreta:

Obs: Periélio: ponto da órbita mais próximo do Sol;

Afélio: ponto da órbita mais longe do Sol.

a) A componente angular   v q da velocidade no periélio e afélio é nula.

b) A componente angular da aceleração a q é sempre zero.

c) O raio vetor varre áreas iguais em tempos iguais, o que corresponde à conservação do momento angular.

d) Energia e momento angular são conservados.

e) O módulo da velocidade no periélio é maior que a no afélio.

Passo 1

Vamos julgar cada alternativa:

a)

O movimento de um planeta em torno do sol, como a Terra, por exemplo tem órbita elíptica. Se a velocidade não tivesse componente angular no afélio nem no periélio ao chegar lá o planeta “iria embora” saindo da órbita. Para continuar em órbita deve sempre ter essa componente angular. Então... ALTERNATIVA INCORRETA .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

Não existe aceleração angular no movimento de órbita, apenas centrípeta. Resposta Correta.

Passo 3

c)

Isso é justamente a Segunda Lei de Kepler.

Passo 4

d)

Temos a força gravitacional como uma força conservativa, logo a energia total se conserva. Como a força gravitacional atua no centro de massa do planeta, não haverá torque e por consequência não haverá variação de energia cinética. True Story!

Passo 5

e)

Pela Terceira Lei de Kepler, temos:

T a f 2 R a f 3 = T p e 2 R p e 3

Lá da cinemática angular, a gente viu que a velocidade pode ser calculada por:

v = 2 π R T

Logo, o T será:

T = 2 π R v

Substituindo na lei de Kepler, temos:

4 π 2 R a f 2 v a f 2 R a f 3 = 4 π 2 R p e 2 v p e 2 R p e 3

v a f 2 R a f = v p e 2 R p e

Isolando a velocidade do periélio...

v p e = v a f R a f R p e

Como o R a f é a maior distância da órbita, teremos que R a f > R p e , ou seja, R a f R p e > 1 .

Desta forma...

v p e > v a f

Resposta certinha!!

Resposta

a) A componente angular   v q da velocidade no periélio e afélio é nula.

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