Exercícios Resolvidos de Leis de Kepler

Um satélite segue a órbita elíptica da figura abaixo. A única força sobre o satélite é a atração gravitacional do planeta. A massa do satélite pode ser tomada como sendo completamente desprezível comparada àquela do planeta. A magnitude da velocidade do satélite no ponto a é 8000   m / s . A magnitude da velocidade do satélite no ponto b é:

(a) impossível de determinar sem que as massas do planeta e do satélite sejam fornecidas.

(b) 8000   m / s , já que o trabalho realizado pela força gravitacional sobre o satélite é nulo.

(c) 8000   m / s , por conservação de momento linear do sistema satélite-planeta.

(d) 2000   m / s , devido à conservação de momento angular do satélite.

(e) maior que v a , já que a velocidade angular do satélite é constante e r b > r a .

Passo 1

Um ótimo jeito de comparar a velocidade nos pontos a (mais próximo da trajetória) e b (mais afastado da trajetória) é a partir da conservação do momento angular:

L 0 = L

Bom, mas por que é útil utilizar o momento angular?

Porque ele relaciona a velocidade v do satélite com a sua distância r ao centro do planeta.

Mas por que o momento angular se conserva?

Ahh isso porque não há nenhum torque externo atuando no sistema:

τ R e x t = 0

A única força atuando nesse sistema é a força gravitacional. Como essa força sempre aponta na direção do centro de rotação, ela não gera torque.

Assim, temos a conservação do momento angular.

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Passo 2

O momento angular é dado pelo produto vetorial entre o vetor posição r → e o vetor momento linear p → :

L → = r → × p →

O momento linear e dado por m v → :

L → = m r → × v →

Passo 3

Dá uma olhada nesses vetores:

O módulo do produto vetorial entre eles é:

r → × v → = r v   s e n θ

Onde θ é o ângulo entre eles.

Como nos dois casos os vetores são perpendiculares, temos:

r → × v → = r v   s e n 90 °

r → × v → = r v

Ou seja, o módulo do momento angular fica:

L = m r v

Passo 4

Voltando à conservação do momento angular, temos:

L a = L b

m r a v a = m r b v b

r a v a = r b v b

Passo 5

O semi-eixo maior da elipse é 30000   k m .

Podemos dizer que metade desse semi-eixo corresponde a:

30000 2 = r a + 9000

r a = 6000   k m

r a + r b = 30000

r b = 30000 - 6000

r b = 24000   k m

Passo 6

Substituindo os valores, temos: r a v a = r b v b

OBS: Podemos substituir os valores de r em k m em vez do S I , pois como fazemos o mesmo dos dois lados da equação, essas unidades se cancelam.

6000 v a = 24000 v b

v b = v a 4

v b = 8000 4 = 2000   m / s

Resposta

Letra (d)

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